Что такое логарифм и зачем он нужен

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число?

\log_b a=c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c=a.

Например, $\log_2 8=3$ , потому что $2^3=8$ . Логарифм является обратной операцией к возведению в степень, как деление является обратной операцией к умножению.

Перевод между двумя записями

flowchart LR
  accTitle: Связь степени и логарифма
  accDescr: Степенная запись два в третьей равно восьми равносильна логарифмической записи логарифм восьми по основанию два равен трём.
  A["2³ = 8"] -->|"спрашиваем о показателе"| B["log₂ 8 = 3"]
  B -->|"возвращаемся к степени"| A

Чтобы вычислить $\log_3 81$ , перепишите вопрос как $3^c=81$ . Поскольку $3^4=81$ , получаем $c=4$ .

Когда ответ не является целым

Логарифмы нужны и тогда, когда подходящая степень не видна сразу. Например, число $\log_{10} 50$ лежит между $1$ и $2$ , потому что $10^1<50<10^2$ . Калькулятор даёт приближённо $1{,}699$ .

Так логарифм превращает большой диапазон значений в компактную шкалу. Увеличение аргумента в десять раз прибавляет к десятичному логарифму единицу:

\log_{10}(10a)=\log_{10}a+1.

Эта идея используется в шкалах громкости, кислотности, интенсивности землетрясений и при анализе экспоненциального роста.

Ограничения основания и аргумента

В вещественных числах основание должно быть положительным и отличаться от единицы: $b>0$ , $b\ne1$ . Аргумент тоже должен быть положительным: $a>0$ .

Причина видна из степенной записи. Положительное основание в любой вещественной степени даёт положительный результат, поэтому получить ноль или отрицательное число невозможно.

Типичная ошибка

Равенство $\log_b(a+c)=\log_b a+\log_b c$ неверно. Правило суммы логарифмов относится к произведению:

\log_b(ac)=\log_b a+\log_b c.

Оно следует из свойства степеней $b^m b^n=b^{m+n}$ . Связь с показателями помогает восстановить правило, если формула забылась.

В курсе «Математический фундамент для высшей математики» логарифмы идут после степеней и экспоненты: от определения и области допустимых значений до свойств и уравнений.

Перевод между двумя записями

Когда ответ не является целым

Ограничения основания и аргумента

Типичная ошибка

Читайте дальше