Что такое логарифм и зачем он нужен

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число?

\log_b a=c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c=a.

Например, $\log_2 8=3$ , потому что $2^3=8$ . Логарифм является обратной операцией к возведению в степень, как деление является обратной операцией к умножению.

Перевод между двумя записями

flowchart LR
  accTitle: Связь степени и логарифма
  accDescr: Степенная запись два в третьей равно восьми равносильна логарифмической записи логарифм восьми по основанию два равен трём.
  A["2³ = 8"] -->|"спрашиваем о показателе"| B["log₂ 8 = 3"]
  B -->|"возвращаемся к степени"| A

Чтобы вычислить $\log_3 81$ , перепишите вопрос как $3^c=81$ . Поскольку $3^4=81$ , получаем $c=4$ .

Когда ответ не является целым

Логарифмы нужны и тогда, когда подходящая степень не видна сразу. Например, число $\log_{10} 50$ лежит между $1$ и $2$ , потому что $10^1<50<10^2$ . Калькулятор даёт приближённо $1{,}699$ .

Так логарифм превращает большой диапазон значений в компактную шкалу. Увеличение аргумента в десять раз прибавляет к десятичному логарифму единицу:

\log_{10}(10a)=\log_{10}a+1.

Эта идея используется в шкалах громкости, кислотности, интенсивности землетрясений и при анализе экспоненциального роста.

Ограничения основания и аргумента

В вещественных числах основание должно быть положительным и отличаться от единицы: $b>0$ , $b\ne1$ . Аргумент тоже должен быть положительным: $a>0$ .

Причина видна из степенной записи. Положительное основание в любой вещественной степени даёт положительный результат, поэтому получить ноль или отрицательное число невозможно.

Типичная ошибка

Равенство $\log_b(a+c)=\log_b a+\log_b c$ неверно. Правило суммы логарифмов относится к произведению:

\log_b(ac)=\log_b a+\log_b c.

Оно следует из свойства степеней $b^m b^n=b^{m+n}$ . Связь с показателями помогает восстановить правило, если формула забылась.

В курсе «Математический фундамент для высшей математики» логарифмы идут после степеней и экспоненты: от определения и области допустимых значений до свойств и уравнений.

Какие логарифмы встречаются чаще всего

Запись $\log_ba$ всегда содержит основание $b$ , даже если оно не напечатано явно:

$\lg a$ — десятичный логарифм, то есть $\log_{10}a$ ;
$\ln a$ — натуральный логарифм с основанием $e\approx2{,}718$ ;
в информатике запись $\log a$ нередко означает основание $2$ , но это должно быть оговорено.

Основание меняет численное значение, но не сам смысл вопроса. Например, $\log_2 16=4$ , $\log_4 16=2$ , а $\log_{16}16=1$ .

Как оценить логарифм без калькулятора

Найдите соседние целые степени основания. Для $\log_2 20$ имеем

2^4=16<20<32=2^5,

поэтому $4<\log_2 20<5$ . Этого часто достаточно, чтобы проверить вычисление или выбрать разумный ответ. Если основание больше единицы, логарифм растёт вместе с аргументом. При $0<b<1$ направление неравенства меняется: например, $(1/2)^2=1/4$ и $(1/2)^3=1/8$ , поэтому $\log_{1/2}(1/4)=2$ , а $\log_{1/2}(1/8)=3$ .

График логарифмической функции

Функция $y=\log_bx$ обратна экспоненте $y=b^x$ . Поэтому их графики зеркальны относительно прямой $y=x$ . У логарифма область определения $x>0$ , он проходит через точку $(1,0)$ и никогда не пересекает ось $y$ .

flowchart LR
  accTitle: Ключевые точки графика логарифма
  accDescr: При аргументе один логарифм равен нулю, при аргументе b равен единице, а при аргументе один делить на b равен минус единице.
  A["x = 1/b → y = −1"] --> B["x = 1 → y = 0"]
  B --> C["x = b → y = 1"]

Для $b>1$ график возрастает, но всё медленнее: чтобы увеличить логарифм на единицу, аргумент нужно умножить на $b$ . Это и объясняет, почему логарифмическая шкала сжимает большие диапазоны.

Практический пример: сколько удвоений нужно

Пусть количество данных растёт вдвое каждый день, а нужно увеличить объём с $100$ до $3200$ единиц. Ищем число дней $t$ :

100\cdot2^t=3200, \qquad 2^t=32, \qquad t=\log_2 32=5.

Логарифм здесь отвечает не «каким станет объём», а «сколько шагов роста потребуется». Та же модель возникает при сложных процентах, затухании, оценке сложности алгоритмов и периоде полураспада.

Самопроверка определения

Для любой записи $\log_ba=c$ выполните обратный переход $b^c=a$ . Например, предполагаемый ответ $\log_3(1/9)=-2$ верен, потому что $3^{-2}=1/9$ . Отрицательный логарифм не означает отрицательный аргумент: при основании больше единицы он означает, что аргумент лежит между нулём и единицей.