Что такое функция и как читать её график

Функция в математике связывает каждое допустимое входное значение $x$ ровно с одним выходным значением $y$ . Запись $y=f(x)$ означает: возьмите $x$ , примените правило $f$ и получите результат.

Например, функция $f(x)=2x+1$ удваивает вход и прибавляет единицу. При $x=3$ получаем $f(3)=2\cdot3+1=7$ .

Одна зависимость в трёх представлениях

flowchart LR
  accTitle: Три представления функции
  accDescr: Правило, таблица значений и график описывают одну зависимость между x и y.
  A["Правило: y = 2x + 1"] --> B["Таблица пар x и y"]
  B --> C["Точки на графике"]
  C --> D["Линия показывает зависимость"]

Формула позволяет вычислить значение точно. Таблица показывает несколько выбранных пар. График собирает все пары $(x,f(x))$ в геометрический образ. Это разные способы увидеть одну функцию.

Как прочитать значение по графику

Предположим, нужно найти $f(2)$ на графике.

Найдите $2$ на горизонтальной оси $x$ .
Проведите взгляд вверх или вниз до графика.
От точки пересечения перейдите к вертикальной оси $y$ .
Прочитайте высоту точки. Для $f(x)=2x+1$ это $5$ .

Обратный вопрос выглядит так: при каких $x$ функция равна $5$ ? Теперь начинайте с высоты $y=5$ , найдите пересечение с графиком и прочитайте соответствующие значения $x$ . Пересечений может быть несколько.

Область определения

Не каждый вход обязательно допустим. У функции $g(x)=1/x$ нельзя подставить $x=0$ , потому что деление на ноль не определено. Множество допустимых входов называется областью определения.

В графике запрет на $x=0$ виден как разрыв: точки с такой горизонтальной координатой нет.

Типичная ошибка

Вертикальная линия может пересечь график функции не более одного раза. Если при одном $x$ рисунок даёт два разных значения $y$ , он не задаёт функцию $y$ от $x$ . При этом одна горизонтальная линия вправе пересекать график несколько раз: разные входы могут давать одинаковый результат.

Навык чтения функций развивается в курсе «Математический фундамент для высшей математики»: от таблиц и формул до преобразований графиков и подготовки к математическому анализу.

Аргумент, значение и множество значений

В записи $y=f(x)$ переменную $x$ называют аргументом, а $f(x)$ — значением функции. Все допустимые $x$ образуют область определения, а все реально получаемые результаты — множество значений.

Для $f(x)=x^2$ область определения — все вещественные числа, а множество значений задаётся условием $y\ge0$ . Одному результату могут соответствовать разные аргументы: $f(-2)=f(2)=4$ . Требование функции действует в обратном направлении: каждому конкретному $x$ назначается только один $y$ .

Как находить область определения по формуле

Начните со всех вещественных чисел и исключите входы, при которых операция теряет смысл: знаменатель не равен нулю, под корнем чётной степени стоит неотрицательное число, аргумент логарифма положителен.

Для $h(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ корень требует $x\ge1$ , а знаменатель — $x\ne3$ . Поэтому область определения равна $[1,3)\cup(3,+\infty)$ .

Что искать на графике

Область определения: для каких $x$ график существует.
Нули: где график пересекает ось $x$ и выполняется $f(x)=0$ .
Знак: где график выше или ниже оси $x$ .
Возрастание и убывание при движении слева направо.
Разрывы, наибольшие и наименьшие значения.

flowchart LR
  accTitle: Порядок чтения графика функции
  accDescr: После области определения находят нули и знак, затем промежутки изменения и особые точки.
  A["Допустимые x"] --> B["Нули и знак"] --> C["Рост и убывание"] --> D["Разрывы и экстремумы"]

Преобразования графика

Если график $y=f(x)$ известен, то $f(x)+c$ сдвигает его вверх на $c$ , $f(x-c)$ — вправо, $-f(x)$ отражает относительно оси $x$ , а $f(-x)$ — относительно оси $y$ . Горизонтальный сдвиг часто путают: у $y=(x-3)^2$ вершина достигается при $x=3$ , поэтому она ушла вправо от вершины $y=x^2$ .

От условия к функции

Сначала назовите вход и выход с единицами. Если поездка стоит $150$ рублей плюс $20$ рублей за километр, то $C(d)=150+20d$ , где $d$ — километры, $C$ — рубли. Значение $C(5)=250$ отвечает на вопрос о пяти километрах, а коэффициент $20$ показывает изменение цены при добавлении километра.