Что такое функция и как читать её график

Функция в математике связывает каждое допустимое входное значение $x$ ровно с одним выходным значением $y$ . Запись $y=f(x)$ означает: возьмите $x$ , примените правило $f$ и получите результат.

Например, функция $f(x)=2x+1$ удваивает вход и прибавляет единицу. При $x=3$ получаем $f(3)=2\cdot3+1=7$ .

Одна зависимость в трёх представлениях

flowchart LR
  accTitle: Три представления функции
  accDescr: Правило, таблица значений и график описывают одну зависимость между x и y.
  A["Правило: y = 2x + 1"] --> B["Таблица пар x и y"]
  B --> C["Точки на графике"]
  C --> D["Линия показывает зависимость"]

Формула позволяет вычислить значение точно. Таблица показывает несколько выбранных пар. График собирает все пары $(x,f(x))$ в геометрический образ. Это разные способы увидеть одну функцию.

Как прочитать значение по графику

Предположим, нужно найти $f(2)$ на графике.

Найдите $2$ на горизонтальной оси $x$ .
Проведите взгляд вверх или вниз до графика.
От точки пересечения перейдите к вертикальной оси $y$ .
Прочитайте высоту точки. Для $f(x)=2x+1$ это $5$ .

Обратный вопрос выглядит так: при каких $x$ функция равна $5$ ? Теперь начинайте с высоты $y=5$ , найдите пересечение с графиком и прочитайте соответствующие значения $x$ . Пересечений может быть несколько.

Область определения

Не каждый вход обязательно допустим. У функции $g(x)=1/x$ нельзя подставить $x=0$ , потому что деление на ноль не определено. Множество допустимых входов называется областью определения.

В графике запрет на $x=0$ виден как разрыв: точки с такой горизонтальной координатой нет.

Типичная ошибка

Вертикальная линия может пересечь график функции не более одного раза. Если при одном $x$ рисунок даёт два разных значения $y$ , он не задаёт функцию $y$ от $x$ . При этом одна горизонтальная линия вправе пересекать график несколько раз: разные входы могут давать одинаковый результат.

Навык чтения функций развивается в курсе «Математический фундамент для высшей математики»: от таблиц и формул до преобразований графиков и подготовки к математическому анализу.

Одна зависимость в трёх представлениях

Как прочитать значение по графику

Область определения

Типичная ошибка

Читайте дальше