Системы линейных уравнений: методы решения с примерами

Система линейных уравнений требует найти значения переменных, которые одновременно удовлетворяют каждому уравнению. Для двух переменных ответ обычно записывают парой $(x,y)$ .

Например,

\begin{cases} x+y=7,\\ x-y=1. \end{cases}

Пара $(4,3)$ подходит: $4+3=7$ и $4-3=1$ . Проверка только одного уравнения недостаточна.

Геометрический смысл

Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую. Решение системы — общая точка этих прямых.

flowchart TD
  accTitle: Число решений системы двух линейных уравнений
  accDescr: Пересекающиеся прямые дают одно решение, параллельные не дают решений, совпадающие дают бесконечно много решений.
  A["Две прямые"] --> B["Пересекаются → одно решение"]
  A --> C["Параллельны → решений нет"]
  A --> D["Совпадают → бесконечно много"]

Алгебраические методы находят ту же точку без обязательного построения точного графика.

Метод подстановки

Подстановка удобна, когда одну переменную легко выразить. Решим

\begin{cases} y=2x+1,\\ 3x+y=11. \end{cases}

Второе уравнение должно выполняться для того же $y$ , поэтому подставляем $2x+1$ :

3x+(2x+1)=11, \qquad 5x=10, \qquad x=2.

Возвращаемся в простое первое уравнение: $y=2\cdot2+1=5$ . Ответ $(2,5)$ . Проверка во втором: $3\cdot2+5=11$ .

Метод сложения

Сложение удобно, когда коэффициенты при одной переменной противоположны или легко такими становятся:

\begin{cases} 2x+3y=13,\\ 4x-3y=5. \end{cases}

Складываем левые и правые части: $6x=18$ , значит $x=3$ . Подставляем в первое уравнение: $6+3y=13$ , откуда $y=7/3$ . Проверка должна выполняться в обоих уравнениях.

Если коэффициенты не противоположны, домножьте одно или оба уравнения. Для системы $x+2y=8$ , $3x-y=3$ можно умножить второе уравнение на $2$ и сложить: $7x=14$ , поэтому $x=2$ , $y=3$ .

Как выбрать метод

Ситуация	Удобный метод
$x$ или $y$ уже выражена	подстановка
коэффициент равен $1$ или $-1$	часто подстановка
коэффициенты противоположны	сложение
коэффициенты легко уравнять	сложение после домножения
нужен смысл числа решений	график

Оба алгебраических метода равноправны. Выбирайте тот, который создаёт меньше дробей и вычислений.

Система без решений

Рассмотрим

\begin{cases} 2x+y=4,\\ 4x+2y=10. \end{cases}

Если первое уравнение умножить на $2$ , слева получится $4x+2y$ , но справа $8$ , а не $10$ . Вычитание даёт противоречие $0=2$ . Прямые имеют одинаковый наклон и разные положения, поэтому не пересекаются.

Бесконечно много решений

В системе $2x+y=4$ и $4x+2y=8$ второе уравнение является удвоенным первым. После вычитания получается $0=0$ : оба уравнения задают одну прямую. Решений бесконечно много, например $(0,4)$ , $(1,2)$ , $(2,0)$ .

Текстовая задача

В магазине купили $5$ тетрадей двух видов. Обычная стоит $40$ рублей, плотная — $70$ , всего заплатили $260$ рублей. Пусть $x$ — число обычных, $y$ — плотных тетрадей:

\begin{cases} x+y=5,\\ 40x+70y=260. \end{cases}

Из первого $x=5-y$ . Подставляем: $40(5-y)+70y=260$ , откуда $30y=60$ , $y=2$ , $x=3$ . Единицы и здравый смысл дают дополнительную проверку: количества целые, неотрицательные и в сумме равны пяти.

Связь с методом Гаусса

Для двух переменных сложение уже является простейшим вариантом метода Гаусса. В системах с тремя и более неизвестными уравнения последовательно комбинируют, чтобы убрать переменные и получить ступенчатую форму. Идея остаётся той же: заменять систему эквивалентной, не меняя множества решений.

Частые ошибки

Домножить не все слагаемые уравнения.
При подстановке не взять выражение в скобки.
Найти $x$ и забыть восстановить $y$ .
Проверить пару только в одном уравнении.
После $0=0$ записать одно решение вместо бесконечного семейства.