Тригонометрия с нуля: синус и косинус на единичной окружности · Mathmaxing
Mathmaxing
Регистрация

Тригонометрия с нуля: синус и косинус на единичной окружности

Объясняем синус и косинус как координаты точки, определяем знаки по четвертям и разбираем угол 150 градусов.

3 мин чтения

На единичной окружности косинус угла равен горизонтальной координате точки, а синус равен вертикальной. Если поворот на угол tt приводит в точку (x,y)(x,y), то

x=cos⁡t,y=sin⁡t.x=\cos t, \qquad y=\sin t.

Эта модель объединяет значения, знаки, периодичность и основное тригонометрическое тождество.

Четыре опорных поворота

Окружность имеет радиус 11 и центр в начале координат:

  • при t=0t=0 точка равна (1,0)(1,0);
  • при t=π/2t=\pi/2 точка равна (0,1)(0,1);
  • при t=πt=\pi точка равна (−1,0)(-1,0);
  • при t=3π/2t=3\pi/2 точка равна (0,−1)(0,-1).

Поэтому cos⁡0=1\cos0=1, sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1, cos⁡π=−1\cos\pi=-1 и sin⁡(3π/2)=−1\sin(3\pi/2)=-1.

flowchart TD
  accTitle: Знаки синуса и косинуса по четвертям
  accDescr: Справа косинус положителен, слева отрицателен, сверху синус положителен, снизу отрицателен.
  A["I четверть: cos +, sin +"] --- B["II четверть: cos −, sin +"]
  B --- C["III четверть: cos −, sin −"]
  C --- D["IV четверть: cos +, sin −"]
  D --- A

Пример: синус и косинус угла 150°

Угол 150∘150^\circ лежит во второй четверти и отличается от 180∘180^\circ на 30∘30^\circ. Его опорный угол равен 30∘30^\circ.

Для угла 30∘30^\circ координаты по модулю равны

(32,12).\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).

Во второй четверти горизонтальная координата отрицательна, вертикальная положительна. Поэтому

cos⁡150∘=−32,sin⁡150∘=12.\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin150^\circ=\frac12.

Знак получен из положения точки, а модуль из опорного угла.

Откуда берётся sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2t+\cos^2t=1

Любая точка (x,y)(x,y) единичной окружности удовлетворяет уравнению x2+y2=1x^2+y^2=1. Подставим x=cos⁡tx=\cos t и y=sin⁡ty=\sin t:

cos⁡2t+sin⁡2t=1.\cos^2t+\sin^2t=1.

Тождество является записью постоянной длины радиуса, а не отдельным правилом для запоминания.

Типичная ошибка

Синус и косинус не обозначают стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике они выражают отношения сторон, а единичная окружность расширяет эти отношения на углы больше 90∘90^\circ и отрицательные углы.

Градусы, радианы и табличные значения

Полный оборот равен 360∘360^\circ или 2π2\pi радиан, поэтому tрад=tград⋅π/180t_{\text{рад}}=t_{\text{град}}\cdot\pi/180. Например, 60∘=π/360^\circ=\pi/3, а 225∘=5π/4225^\circ=5\pi/4. На единичной окружности число радиан равно длине пройденной дуги.

Для опорных углов π/6\pi/6, π/4\pi/4, π/3\pi/3 синус равен соответственно 1/21/2, 2/2\sqrt2/2, 3/2\sqrt3/2; косинус идёт в обратном порядке. Это можно восстановить: при движении от 00 к π/2\pi/2 вертикальная координата растёт, горизонтальная уменьшается.

Как найти значение для любого угла

  1. Приведите угол к одному обороту, прибавляя или вычитая 360∘360^\circ.
  2. Определите четверть и знаки координат.
  3. Найдите опорный острый угол.
  4. Возьмите табличные модули и поставьте знаки.

Для 225∘=180∘+45∘225^\circ=180^\circ+45^\circ точка лежит в третьей четверти, где обе координаты отрицательны:

cos⁡225∘=−22,sin⁡225∘=−22.\cos225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.

После полного оборота точка возвращается на место, поэтому sin⁡(t+2πk)=sin⁡t\sin(t+2\pi k)=\sin t и cos⁡(t+2πk)=cos⁡t\cos(t+2\pi k)=\cos t. Отрицательный угол задаёт поворот по часовой стрелке: sin⁡(−t)=−sin⁡t\sin(-t)=-\sin t, а cos⁡(−t)=cos⁡t\cos(-t)=\cos t.

Тангенс на окружности

tan⁡t=sin⁡t/cos⁡t\tan t=\sin t/\cos t, поэтому тангенс не существует при cos⁡t=0\cos t=0. Его знак положителен, когда координаты имеют одинаковые знаки, и отрицателен, когда знаки различаются.

Как проверять тригонометрический ответ

Синус и косинус всегда лежат между −1-1 и 11. По четверти заранее определите знак, а по близости к осям — примерный модуль. Например, угол 170∘170^\circ близок к 180∘180^\circ: его косинус должен быть близок к −1-1, а синус — к нулю, но положителен.

Проверьте также тождество sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2t+\cos^2t=1. Оно не доказывает, что оба знака выбраны верно, зато обнаруживает ошибочный модуль. На калькуляторе убедитесь, что выбран правильный режим DEG для градусов или RAD для радиан: это одна из самых частых причин неожиданного результата.

Зачем окружность лучше таблицы

Таблица хранит несколько углов, окружность объясняет бесконечно многие. По ней восстанавливаются знаки, периодичность, отрицательные углы и симметрии. Поэтому сначала находите положение точки, а уже затем используйте формулу: так вычисление остаётся осмысленным даже для угла вне первого оборота.

Читайте дальше