Тригонометрия с нуля: синус и косинус на единичной окружности · Mathmaxing
Mathmaxing

Тригонометрия с нуля: синус и косинус на единичной окружности

Объясняем синус и косинус как координаты точки, определяем знаки по четвертям и разбираем угол 150 градусов.

2 мин чтения

На единичной окружности косинус угла равен горизонтальной координате точки, а синус равен вертикальной. Если поворот на угол tt приводит в точку (x,y)(x,y), то

x=cos⁡t,y=sin⁡t.x=\cos t, \qquad y=\sin t.

Эта модель объединяет значения, знаки, периодичность и основное тригонометрическое тождество.

Четыре опорных поворота

Окружность имеет радиус 11 и центр в начале координат:

  • при t=0t=0 точка равна (1,0)(1,0);
  • при t=π/2t=\pi/2 точка равна (0,1)(0,1);
  • при t=πt=\pi точка равна (−1,0)(-1,0);
  • при t=3π/2t=3\pi/2 точка равна (0,−1)(0,-1).

Поэтому cos⁡0=1\cos0=1, sin⁡(π/2)=1\sin(\pi/2)=1, cos⁡π=−1\cos\pi=-1 и sin⁡(3π/2)=−1\sin(3\pi/2)=-1.

flowchart TD
  accTitle: Знаки синуса и косинуса по четвертям
  accDescr: Справа косинус положителен, слева отрицателен, сверху синус положителен, снизу отрицателен.
  A["I четверть: cos +, sin +"] --- B["II четверть: cos −, sin +"]
  B --- C["III четверть: cos −, sin −"]
  C --- D["IV четверть: cos +, sin −"]
  D --- A

Пример: синус и косинус угла 150°

Угол 150∘150^\circ лежит во второй четверти и отличается от 180∘180^\circ на 30∘30^\circ. Его опорный угол равен 30∘30^\circ.

Для угла 30∘30^\circ координаты по модулю равны

(32,12).\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).

Во второй четверти горизонтальная координата отрицательна, вертикальная положительна. Поэтому

cos⁡150∘=−32,sin⁡150∘=12.\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin150^\circ=\frac12.

Знак получен из положения точки, а модуль из опорного угла.

Откуда берётся sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2t+\cos^2t=1

Любая точка (x,y)(x,y) единичной окружности удовлетворяет уравнению x2+y2=1x^2+y^2=1. Подставим x=cos⁡tx=\cos t и y=sin⁡ty=\sin t:

cos⁡2t+sin⁡2t=1.\cos^2t+\sin^2t=1.

Тождество является записью постоянной длины радиуса, а не отдельным правилом для запоминания.

Типичная ошибка

Синус и косинус не обозначают стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике они выражают отношения сторон, а единичная окружность расширяет эти отношения на углы больше 90∘90^\circ и отрицательные углы.

Читайте дальше