Предел функции: значение рядом с точкой

Предел функции при $x\to a$ описывает значения функции рядом с точкой $a$ . Он отвечает на вопрос: к какому числу приближается $f(x)$ , когда $x$ подходит к $a$ с обеих сторон?

Запись

\lim_{x\to a}f(x)=L

не требует, чтобы $x$ стал равен $a$ . Значение $f(a)$ может совпадать с $L$ , отличаться от него или вообще не существовать.

Подходим с двух сторон

Для обычного двустороннего предела левое и правое приближения должны давать одно число.

flowchart LR
  accTitle: Двусторонний предел функции
  accDescr: Значения x слева и справа приближаются к a, а значения функции с обеих сторон приближаются к L.
  A["x < a"] --> C["x → a"]
  B["x > a"] --> C
  C --> D["f(x) → L с обеих сторон"]

Если слева функция приближается к $1$ , а справа к $3$ , общего предела нет, хотя каждый односторонний предел существует.

Пример с выколотой точкой

Рассмотрим

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

При $x=2$ знаменатель равен нулю, поэтому значение функции не определено. Для соседних значений можно разложить числитель и сократить общий множитель:

\frac{x^2-4}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2, \qquad x\ne2.

Когда $x$ приближается к $2$ , выражение $x+2$ приближается к $4$ . Следовательно,

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4.

На графике это прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(2,4)$ . Отсутствие самой точки не мешает соседним значениям приближаться к её высоте.

Предел и значение функции

Можно отдельно определить $f(2)=10$ . Тогда на графике появится закрашенная точка $(2,10)$ , но предел останется равен $4$ . Предел описывает поведение вокруг точки, значение функции описывает саму точку.

Если функция определена в точке и её предел совпадает со значением, функцию называют непрерывной в этой точке.

Типичная ошибка

Результат $0/0$ после прямой подстановки не является значением предела. Это сигнал, что выражение нужно преобразовать или применить другой метод. В разобранном примере сокращение показало скрытое поведение $x+2$ .

Как искать предел: порядок действий

Начните с прямой подстановки. Если получается обычное число, предел найден. Например, $\lim_{x\to2}(x^2+3x)=10$ . Если возникает $0/0$ , форму нужно преобразовать: разложить на множители, привести к общему знаменателю или рационализировать.

flowchart TD
  accTitle: Выбор первого метода вычисления предела
  accDescr: Обычное число после подстановки даёт ответ, ноль на ноль требует преобразования, разные односторонние значения означают отсутствие общего предела.
  A["Подставить x = a"] --> B{"Результат"}
  B -->|"число"| C["Ответ"]
  B -->|"0/0"| D["Преобразовать выражение"]
  B -->|"разные стороны"| E["Общего предела нет"]
  D --> F["Подставить снова"]

$0/0$ называется неопределённостью потому, что сама форма не определяет ответ: $x/x$ при $x\to0$ стремится к $1$ , $x^2/x$ — к $0$ , а $x/x^2$ не имеет конечного двустороннего предела.

Пример с корнем

Для $\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ умножим дробь на сопряжённое выражение:

\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac1{\sqrt{1+x}+1}\to\frac12.

Сокращение на $x$ допустимо при $x\ne0$ , а предел как раз исследует соседние точки, не сам ноль.

Односторонние пределы

$x\to a-$ означает приближение слева, $x\to a+$ — справа. Для $1/x$ при $x\to0$ получаем $-\infty$ слева и $+\infty$ справа, поэтому двустороннего предела нет. Символ $\infty$ здесь описывает неограниченный рост, а не число, которого функция достигает.

Предел на бесконечности

При $x\to\infty$ исследуют всё большие значения. Разделив числитель и знаменатель на $x^2$ , получим

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-4} =\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-4/x^2}=3.

Для численной проверки подставьте значения всё ближе к точке с обеих сторон. Таблица не доказывает предел, но быстро обнаруживает ошибку в знаке или различие одностороннего поведения.

Непрерывность и разрывы

Функция непрерывна в точке $a$ , если выполнены три условия: $f(a)$ определено, существует $\lim_{x\to a}f(x)$ и этот предел равен $f(a)$ . Нарушение любого условия создаёт разрыв.

Устранимый разрыв похож на выколотую точку: предел существует, но значение отсутствует или выбрано иначе. Скачок возникает, когда конечные пределы слева и справа различаются. При бесконечном разрыве значения неограниченно растут хотя бы с одной стороны. Такая классификация подсказывает, что именно проверять.

Законы пределов

Если пределы $f$ и $g$ существуют, предел суммы равен сумме пределов, произведения — произведению, а частного — частному при ненулевом пределе знаменателя. Эти законы объясняют прямую подстановку для многочленов. Но применять правило частного при стремящемся к нулю знаменателе нельзя: сначала нужно исследовать форму и одностороннее поведение.