Предел функции: значение рядом с точкой

Предел функции при $x\to a$ описывает значения функции рядом с точкой $a$ . Он отвечает на вопрос: к какому числу приближается $f(x)$ , когда $x$ подходит к $a$ с обеих сторон?

Запись

\lim_{x\to a}f(x)=L

не требует, чтобы $x$ стал равен $a$ . Значение $f(a)$ может совпадать с $L$ , отличаться от него или вообще не существовать.

Подходим с двух сторон

Для обычного двустороннего предела левое и правое приближения должны давать одно число.

flowchart LR
  accTitle: Двусторонний предел функции
  accDescr: Значения x слева и справа приближаются к a, а значения функции с обеих сторон приближаются к L.
  A["x < a"] --> C["x → a"]
  B["x > a"] --> C
  C --> D["f(x) → L с обеих сторон"]

Если слева функция приближается к $1$ , а справа к $3$ , общего предела нет, хотя каждый односторонний предел существует.

Пример с выколотой точкой

Рассмотрим

f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

При $x=2$ знаменатель равен нулю, поэтому значение функции не определено. Для соседних значений можно разложить числитель и сократить общий множитель:

\frac{x^2-4}{x-2} =\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} =x+2, \qquad x\ne2.

Когда $x$ приближается к $2$ , выражение $x+2$ приближается к $4$ . Следовательно,

\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4.

На графике это прямая $y=x+2$ с выколотой точкой $(2,4)$ . Отсутствие самой точки не мешает соседним значениям приближаться к её высоте.

Предел и значение функции

Можно отдельно определить $f(2)=10$ . Тогда на графике появится закрашенная точка $(2,10)$ , но предел останется равен $4$ . Предел описывает поведение вокруг точки, значение функции описывает саму точку.

Если функция определена в точке и её предел совпадает со значением, функцию называют непрерывной в этой точке.

Типичная ошибка

Результат $0/0$ после прямой подстановки не является значением предела. Это сигнал, что выражение нужно преобразовать или применить другой метод. В разобранном примере сокращение показало скрытое поведение $x+2$ .

Подходим с двух сторон

Пример с выколотой точкой

Предел и значение функции

Типичная ошибка

Читайте дальше