Математический анализ I: функции одной переменной
Прикладной курс о пределах, производных, интегралах и рядах. Нужны базовая алгебра, функции и тригонометрия; строгий ε–δ-анализ не требуется
Создать аккаунтКурс математического анализа по программе MIT 18.01SC
Это независимая русскоязычная адаптация открытого курса MIT OpenCourseWare 18.01SC с новой структурой, примерами и интерактивными заданиями.
Прочитать разбор производной- Для кого
- Студентам и техническим специалистам, которым нужен полный маршрут по функциям одной переменной с практикой.
- Что нужно на входе
- Понадобятся базовая алгебра, функции и тригонометрия. Строгий анализ с ε и δ для старта не требуется.
- Что будет на выходе
- Вы разберёте пределы, производные, интегралы, ряды и научитесь применять их в геометрических и прикладных задачах.
- Как проходит урок
- Короткое объяснение, разобранный пример, 3–6 задач, мгновенная проверка и подсказка по запросу.
01 1A. Производная: смысл, предел и базовые правила
-
Средняя скорость изменения
Измеряем, насколько быстро одна величина меняется относительно другой
20 XP -
Наклон секущей
Связываем среднюю скорость изменения с прямой через две точки графика
20 XP -
Мгновенное изменение
Приближаем скорость в одной точке наклонами секущих
20 XP -
Предел по таблице и графику
Читаем предел как значение, к которому приближается функция рядом с точкой
20 XP -
Арифметика пределов
Вычисляем пределы сумм, произведений и частных из пределов их частей
20 XP -
Односторонние пределы
Различаем приближение слева и справа и определяем, существует ли общий предел
20 XP -
Непрерывность и разрывы
Проверяем непрерывность в точке и различаем устранимый разрыв и скачок
20 XP -
Практика с пределами
Выбираем подходящий способ для подстановки, сокращения и проверки двух сторон
25 XP -
Определение производной
Собираем мгновенную скорость из предела средних скоростей
20 XP -
Производная по определению
Вычисляем производную через разностное отношение и понимаем роль каждого преобразования
25 XP -
Производная как функция
Переходим от наклона в одной точке к функции, которая описывает наклон повсюду
20 XP -
Степенное правило и линейность
Находим производные многочленов без повторного вычисления предела
20 XP -
Главный тригонометрический предел
Понимаем, почему предел sin(x)/x равен единице и где он нужен
20 XP -
Производные синуса и косинуса
Выводим и применяем производные основных тригонометрических функций
20 XP -
Правило произведения
Дифференцируем произведение функций и понимаем, почему нельзя перемножить производные
20 XP -
Правило частного
Находим производную отношения функций и контролируем порядок в числителе
20 XP -
Композиция функций
Видим внешнюю и внутреннюю функции перед применением правила цепочки
20 XP -
Правило цепочки
Дифференцируем композиции, умножая изменения внешнего и внутреннего слоёв
25 XP -
Производные высших порядков
Читаем вторую и последующие производные как изменение самого темпа
20 XP -
Смешанные правила производных
Выбираем порядок правил в выражениях с произведениями, частными и композициями
30 XP -
Закрепление основ производной
Соединяем предел, смысл производной и правила дифференцирования в новых задачах
30 XP
02 1B. Неявные, обратные и показательные функции
-
Неявно заданные кривые
Различаем явную функцию и уравнение, которое связывает переменные
20 XP -
Неявное дифференцирование
Находим dy/dx прямо из уравнения, не решая его относительно y
25 XP -
Касательная к неявной кривой
Вычисляем наклон в заданной точке и находим уравнение касательной
20 XP -
Практика неявного дифференцирования
Соединяем цепочку, произведение и геометрию касательной в смешанных уравнениях
30 XP -
Обратная функция
Понимаем, когда функцию можно обратить и как связаны её графики и области
20 XP -
Производная обратной функции
Связываем наклоны взаимно обратных функций и вычисляем производную без явного обращения
25 XP -
Производные обратных тригонометрических функций
Выводим производные арксинуса и арктангенса через неявную связь
25 XP -
Показательная функция с основанием a
Видим, почему производная a^x пропорциональна самой функции
20 XP -
Число e и естественный рост
Определяем e через непрерывное начисление и связываем его с локальной скоростью роста
20 XP -
Производная экспоненты
Применяем производную e^x вместе с цепочкой, произведением и частным
20 XP -
Производная логарифма
Выводим производную натурального логарифма и учитываем его область определения
20 XP -
Логарифмическое дифференцирование
Упрощаем произведения, частные и переменные степени перед дифференцированием
25 XP -
Экспоненциальные модели
Переводим постоянный относительный темп в формулу роста или распада
25 XP -
Пределы, связанные с e
Распознаём формы (1+u)^(1/u) и переводим их в экспоненту
25 XP -
Гиперболические функции
Знакомимся с sinh и cosh как естественными комбинациями экспонент
20 XP -
Закрепление неявных и обратных функций
Соединяем неявную производную, обращение, логарифмы и экспоненциальные модели
30 XP
03 2A. Приближения и исследование графиков
-
Линейное приближение
Заменяем функцию рядом с точкой её касательной и понимаем границы приближения
20 XP -
Касательная как локальная модель
Строим формулу касательной и используем её для оценки изменения функции
20 XP -
Ошибка линейного приближения
Определяем направление ошибки по выпуклости и оцениваем её порядок
20 XP -
Дифференциалы и оценка погрешности
Используем dy=f'(x)dx для передачи малой погрешности через функцию
20 XP -
Квадратичное приближение
Добавляем кривизну к касательной с помощью второй производной
25 XP -
Практика квадратичных оценок
Выбираем базовую точку и сравниваем линейную и квадратичную модели
25 XP -
Критические точки
Находим кандидатов на экстремум по нулю или отсутствию производной
20 XP -
Возрастание и убывание
Строим таблицу знаков производной и классифицируем локальные экстремумы
25 XP -
Выпуклость и точки перегиба
Читаем знак второй производной как изменение наклона графика
25 XP -
Асимптоты и поведение на бесконечности
Находим вертикальные, горизонтальные и наклонные ориентиры графика
25 XP -
Исследование графика
Собираем область, пределы и знаки производных в единый эскиз
30 XP -
Закрепление приближений и графиков
Соединяем локальные модели, погрешности и качественное исследование функций
30 XP
04 2B. Оптимизация, связанные скорости и метод Ньютона
-
Как собрать задачу оптимизации
Переводим условие в цель, ограничение и допустимый интервал
20 XP -
Экстремумы на отрезке
Сравниваем критические точки, границы и разрывы
20 XP -
Расстояния и геометрические ограничения
Убираем корень и сводим чертёж к одной переменной
25 XP -
Оптимальная форма упаковки
Минимизируем материал при фиксированном объёме
25 XP -
Оптимизация с неявным ограничением
Разбираем кольцо на нити и закрепляем полный алгоритм
30 XP -
Связанные скорости изменения
Дифференцируем геометрическую связь по времени
20 XP -
Связанные скорости в прямоугольном треугольнике
Соединяем движение сторон теоремой Пифагора
25 XP -
Объёмы, сферы и подобные треугольники
Находим скорость уровня или радиуса по скорости объёма
25 XP -
Практика связанных скоростей
Выбираем связь, следим за знаком и проверяем единицы
30 XP -
Метод Ньютона
Находим корень по пересечениям касательных с осью
25 XP -
Когда метод Ньютона сходится — и когда нет
Выбираем старт и распознаём опасные касательные
25 XP -
Закрепление приложений производной
Соединяем оптимизацию, связанные скорости и численный поиск корней
30 XP
05 2C. Теорема о среднем, первообразные и дифференциальные уравнения
-
Теорема о среднем
Связываем средний наклон на отрезке с мгновенным наклоном внутри него
20 XP -
Что производная говорит обо всём отрезке
Получаем постоянство, монотонность и оценки изменения из границ на производную
25 XP -
Дифференциалы как язык малых изменений
Читаем dx и dy и отделяем линейный прогноз от настоящего изменения
20 XP -
Первообразная — производная в обратную сторону
Восстанавливаем функцию по её производной и понимаем роль постоянной C
20 XP -
Базовые первообразные
Обращаем степенное, показательное и тригонометрические правила производных
25 XP -
Восстановление функции из скорости изменения
Находим конкретную функцию по производной и начальному условию
25 XP -
Подстановка как обратное цепное правило
Узнаём внутреннюю функцию вместе с её производной
25 XP -
Практика подстановки
Выбираем внутреннюю функцию, исправляем коэффициент и проверяем ответ производной
30 XP -
Дифференциальные уравнения
Читаем уравнение для производной и проверяем, является ли функция его решением
20 XP -
Поле направлений
Видим поведение решений дифференциального уравнения до вычисления формулы
25 XP -
Разделение переменных
Решаем уравнения вида y'=g(x)h(y) и используем начальное условие
30 XP -
Закрепление теоремы о среднем и обратных задач
Соединяем оценки по производной, первообразные, подстановку и дифференциальные уравнения
30 XP
06 3A. Определённый интеграл и первая основная теорема
-
Определённый интеграл как накопленная величина
Читаем пределы интегрирования и отличаем число от семейства первообразных
20 XP -
От прямоугольников к точной площади
Строим приближение и понимаем, почему оно становится точнее при дроблении отрезка
20 XP -
Суммы без многоточий
Читаем знак Σ и записываем прямоугольные суммы компактно
20 XP -
Суммы Римана
Выбираем точки внутри разбиения и переходим от конечной суммы к интегралу
25 XP -
Интегралы, которые видны из геометрии
Вычисляем площади прямоугольников, треугольников и кусочно-линейных графиков
20 XP -
Интеграл как сумма изменений
Переходим от скорости процесса к накопленному количеству и проверяем единицы
25 XP -
Первая основная теорема анализа
Связываем предел сумм с первообразной и формулой F(b)−F(a)
25 XP -
Вычисление определённых интегралов
Находим первообразную, подставляем пределы и проверяем знак и масштаб ответа
25 XP -
Интеграл скорости и полное изменение
Отличаем перемещение от пройденного пути и читаем отрицательные вклады
25 XP -
Знаковые площади и свойства интеграла
Складываем интервалы, меняем пределы и используем линейность
25 XP -
Подстановка с пределами интегрирования
Меняем переменную и сразу переводим границы в новую шкалу
30 XP -
Оценки интеграла без точного вычисления
Ограничиваем накопление сверху и снизу сравнением функций
25 XP -
Среднее значение функции на отрезке
Связываем накопленное изменение с теоремой о среднем
25 XP -
Закрепление определённого интеграла
Соединяем суммы Римана, основную теорему, знаковые площади, подстановку и оценки
30 XP
07 3B. Функции накопления, площади и объёмы
-
Функция с переменным верхним пределом
Читаем интеграл как функцию накопленного количества
25 XP -
Вторая основная теорема анализа
Находим мгновенную скорость функции накопления
25 XP -
Подвижные границы и правило цепочки
Дифференцируем интегралы с составными верхней и нижней границами
30 XP -
Почему основная теорема работает
Доказываем локальную формулу для производной накопления и выводим вычисление интеграла
30 XP -
Натуральный логарифм как площадь
Строим ln x интегралом и выводим его основные свойства
30 XP -
Новые функции из интегралов
Исследуем функцию, для которой нет элементарной первообразной
30 XP -
Практика функций накопления
Соединяем основную теорему, правило цепочки и исследование графика
30 XP -
Площадь между кривыми
Строим интеграл из высоты вертикального сечения и точек пересечения
25 XP -
Горизонтальные сечения площади
Выбираем интегрирование по y, когда оно избавляет от лишнего разбиения
30 XP -
Объём как сумма сечений
Переходим от площади одного слоя к интегралу объёма
25 XP -
Диски и шайбы
Находим объёмы вращения по радиусам поперечных сечений
30 XP -
Метод цилиндрических оболочек
Вычисляем объём по радиусу, высоте и длине окружности слоя
30 XP -
Шар, сфероид и проверка единиц
Применяем диски к классическим телам и проверяем масштаб ответа
30 XP -
Закрепление функций накопления, площадей и объёмов
Выбираем теорему, направление сечения и метод объёма по геометрии задачи
30 XP
08 3C. Средние, вероятность и численное интегрирование
-
Непрерывное среднее
Переходим от среднего набора измерений к среднему значению функции
25 XP -
Взвешенное среднее
Учитываем неодинаковую важность разных участков непрерывного диапазона
25 XP -
Центр масс как взвешенное среднее
Находим точку равновесия плоской области по её тонким полосам
30 XP -
Плотность вероятности
Переводим локальную правдоподобность в вероятность интервала
25 XP -
Вероятность на плоскости и радиальный вес
Учитываем рост площади кольца в модели двумерной ошибки
30 XP -
Численное интегрирование и средние прямоугольники
Приближаем интеграл по таблице значений без поиска первообразной
25 XP -
Метод трапеций
Соединяем соседние значения прямыми и складываем площади трапеций
25 XP -
Правило Симпсона
Приближаем график параболами и применяем схему весов 1–4–2
30 XP -
Сравнение численных методов
Выбираем формулу по доступным узлам и проверяем направление ошибки
30 XP -
Площадь под колоколообразной кривой
Вычисляем интеграл Гаусса через объём радиально симметричной поверхности
30 XP -
Закрепление средних, вероятности и численных методов
Нормируем веса, читаем площади вероятности и выбираем численную формулу
30 XP
09 4A. Тригонометрические интегралы и подстановки
-
Как читать тригонометрический интеграл
Выбираем метод по чётности степеней синуса и косинуса
25 XP -
Нечётные степени синуса и косинуса
Отделяем один множитель и сводим интеграл к многочлену
30 XP -
Чётные степени и половинный угол
Снижаем степени синуса и косинуса до интегрируемых слагаемых
30 XP -
Практика со степенями синуса и косинуса
Узнаём структуру до вычислений и проверяем ответ производной
35 XP -
Интегралы с тангенсом и секансом
Используем пары производных и тождество между тангенсом и секансом
30 XP -
Интегралы с котангенсом и косекансом
Переносим симметричную схему секанса и тангенса на вторую пару функций
25 XP -
Зачем нужна тригонометрическая подстановка
Превращаем корень из суммы или разности квадратов в одну тригонометрическую функцию
25 XP -
Корень вида $\sqrt{a^2-x^2}$
Используем подстановку $x=a\sin\theta$ и возвращаемся к переменной через треугольник
35 XP -
Корень вида $\sqrt{a^2+x^2}$
Используем подстановку $x=a\tan\theta$ и тождество для секанса
35 XP -
Корень вида $\sqrt{x^2-a^2}$
Используем подстановку $x=a\sec\theta$ и сравниваем её с простой заменой переменной
35 XP -
Гиперболическая подстановка
Упрощаем сумму квадратов через $1+\sinh^2u=\cosh^2u$
30 XP -
Выделение полного квадрата
Приводим общий квадратный трёхчлен к одной из стандартных форм
35 XP -
Сборка техник 4A
Выбираем кратчайший путь для тригонометрических выражений и квадратных корней
40 XP
10 4B. Дроби, интегрирование по частям и геометрия кривых
-
Зачем раскладывать рациональную функцию
Превращаем правильную дробь с линейными множителями в сумму знакомых интегралов
30 XP -
Метод подстановки корней
Находим коэффициенты простых дробей без решения полной системы
30 XP -
Повторные и квадратичные множители
Правильно записываем все слагаемые расширенного разложения
35 XP -
Деление многочленов перед разложением
Превращаем неправильную рациональную дробь в многочлен и правильный остаток
30 XP -
Практика разложения рациональных функций
Проходим весь алгоритм от проверки степени до интегрирования простых слагаемых
40 XP -
Интегрирование по частям
Читаем правило произведения в обратную сторону и переносим производную между множителями
30 XP -
Как выбирать $u$ и $dv$
Выбираем множитель, который упрощается при дифференцировании, и интегрируемую вторую часть
30 XP -
Повторное интегрирование по частям
Снижаем степень полинома шаг за шагом и узнаём циклические интегралы
40 XP -
Экспоненциальный бокал двумя способами
Сравниваем диски и цилиндрические оболочки на одном объёме
35 XP -
Длина кривой как предел длин отрезков
Выводим элемент длины $ds$ из теоремы Пифагора
30 XP -
Вычисление длины кривой
Выбираем удобную переменную и распознаём интегрируемое выражение под корнем
35 XP -
Площадь поверхности вращения
Складываем площади узких лент с длиной окружности $2\pi r$
35 XP -
Площади сферы и тора
Применяем одну формулу к полуокружности и окружности со смещённым центром
40 XP -
Сборка техник 4B
Различаем алгебраические методы интегрирования и геометрические суммы по длине дуги
40 XP
11 4C. Параметрические и полярные кривые
-
Кривая как движение точки
Читаем параметрические уравнения как путь, направление и диапазон движения
30 XP -
Наклон и скорость параметрической кривой
Собираем касательную и скорость из производных двух координат
30 XP -
Длина параметрической кривой
Интегрируем скорость по параметру и следим за числом обходов
35 XP -
Параметрическая модель движения
Восстанавливаем траекторию из компонент движения и читаем скорость вдоль пути
35 XP -
Поверхность вращения в параметрической форме
Подставляем параметрический элемент длины в формулу площади ленты
35 XP -
Полярные координаты
Задаём точку расстоянием от начала координат и направлением луча
25 XP -
Переход между полярными и декартовыми координатами
Переводим точки и уравнения через прямоугольный треугольник
30 XP -
Прямые и окружности в полярной форме
Узнаём простые кривые по формулам для $r$ и переводим их в декартову запись
30 XP -
Площадь в полярных координатах
Складываем узкие секторы вместо вертикальных прямоугольников
35 XP -
Границы полярной площади
Находим диапазон одного обхода и не считаем одну область несколько раз
35 XP -
Отрицательный радиус
Понимаем, почему точка оказывается на противоположном луче и как это влияет на график
30 XP -
Полярные розы
Строим многолепестковые кривые по нулям, знаку и периоду радиуса
25 XP -
Коники в полярных координатах
Узнаём эллипс, параболу и гиперболу по эксцентриситету
25 XP -
Сборка техник 4C
Связываем траекторию, скорость, полярное положение и площадь с корректным диапазоном параметра
40 XP
12 5A. Правило Лопиталя и несобственные интегралы
-
Неопределённые формы
Отличаем неопределённость от уже известного результата и проверяем, когда нужен Лопиталь
30 XP -
Условия правила Лопиталя для формы ноль на ноль
Проверяем гипотезы теоремы до замены отношения функций
25 XP -
Вычисление пределов ноль на ноль
Применяем правило Лопиталя после явной проверки формы и условий
25 XP -
Повторное применение правила Лопиталя
Продолжаем дифференцировать, пока неопределённость действительно не исчезнет
35 XP -
Форма бесконечность на бесконечность
Сравниваем скорости неограниченного роста через производные
35 XP -
Произведения и разности с бесконечностью
Приводим формы ноль на бесконечность и бесконечность минус бесконечность к частному
35 XP -
Иерархия скоростей роста
Доказываем, что экспоненты обгоняют степени, а степени — логарифмы
35 XP -
Неопределённые степени
Снимаем показатель логарифмом и возвращаемся к исходной степени экспонентой
40 XP -
Где правило Лопиталя не помогает
Проверяем форму и существование нового предела, чтобы не получить ложное решение
35 XP -
Интеграл на бесконечном промежутке
Заменяем бесконечную границу пределом конечных площадей
35 XP -
Эталонные p-интегралы
Запоминаем порог сходимости степенных хвостов и степенных особенностей
35 XP -
Признаки сравнения для интегралов
Решаем вопрос о сходимости без вычисления первообразной
40 XP -
Особенности на конечном промежутке
Находим вертикальные разрывы и рассматриваем каждый односторонний предел отдельно
40 XP -
Сборка техник 5A
Выбираем правильное преобразование предела и проверяем все опасные точки интеграла
45 XP
13 5B. Бесконечные ряды, формула Тейлора и финал курса
-
Бесконечный ряд и частичные суммы
Читаем знак суммы и определяем значение ряда через предел конечных сумм
30 XP -
Геометрический ряд
Находим сумму и точно определяем, при каких знаменателях она существует
35 XP -
Первые проверки сходимости ряда
Отбрасываем невозможную сходимость по членам и используем эталонные p-ряды
35 XP -
Интегральный признак для рядов
Сравниваем сумму положительной убывающей последовательности с площадью под графиком
40 XP -
Предельное сравнение рядов
Сопоставляем хвост положительного ряда со степенным эталоном
25 XP -
Признак отношений
Распознаём экспоненциальное убывание членов ряда по соседнему отношению
25 XP -
Гармонический ряд в башне из блоков
Переводим медленную расходимость ряда в реальную задачу о центре масс
40 XP -
Степенной ряд и радиус сходимости
Видим в бесконечной сумме функцию и находим область допустимых значений аргумента
40 XP -
Формула Тейлора
Восстанавливаем коэффициенты степенного ряда по производным функции в одной точке
40 XP -
Ряд Тейлора экспоненты
Получаем ряд для экспоненты и используем его частичные суммы как вычислимые приближения
35 XP -
Ряды синуса и косинуса
Читаем чётность и чередование знаков из циклических производных
40 XP -
Остаток ряда Тейлора
Отличаем формальный ряд от функции и оцениваем ошибку конечного приближения
45 XP -
Алгебра и подстановка степенных рядов
Получаем новые разложения умножением и заменой аргумента внутри области сходимости
40 XP -
Производные и интегралы степенных рядов
Дифференцируем и интегрируем ряд почленно, сохраняя радиус сходимости
40 XP -
Ряды для функций без элементарной первообразной
Строим разложения арктангенса и функции ошибок из знакомого геометрического ряда
45 XP -
Сборка техник 5B
Связываем частичные суммы, признаки сходимости, радиус и коэффициенты Тейлора
45 XP -
Финал курса: гиперболический синус
Собираем графики, обратные функции, производные и интегралы в одной задаче
50 XP