Математический анализ I: функции одной переменной
Курс о пределах, производных, интегралах и рядах. Нужны базовая алгебра, функции и тригонометрия; строгий анализ с ε и δ, к которому привыкли в вузовском изложении, не требуется.
Курс математического анализа по программе MIT 18.01SC
Это независимая русскоязычная адаптация открытого курса MIT OpenCourseWare 18.01SC с новой структурой, примерами и интерактивными заданиями.
Прочитать разбор производной- Для кого
- Студентам и техническим специалистам, которым нужен полный маршрут по функциям одной переменной с практикой.
- Что нужно на входе
- Понадобятся базовая алгебра, функции и тригонометрия. Строгий анализ с ε и δ для старта не требуется.
- Что будет на выходе
- Вы разберёте пределы, производные, интегралы, ряды и научитесь применять их в геометрических и прикладных задачах.
- Как проходит урок
- Короткое объяснение, разобранный пример, 3-6 задач, мгновенная проверка и подсказка по запросу.
01 1A. Производная: смысл, предел и базовые правила
-
Средняя скорость изменения
Измеряем, насколько быстро одна величина меняется относительно другой
-
Наклон секущей
Связываем среднюю скорость изменения с прямой через две точки графика
-
Мгновенное изменение
Приближаем скорость в одной точке наклонами секущих
-
Предел по таблице и графику
Читаем предел как значение, к которому приближается функция рядом с точкой
-
Арифметика пределов
Вычисляем пределы сумм, произведений и частных из пределов их частей
-
Односторонние пределы
Различаем приближение слева и справа и определяем, существует ли общий предел
-
Непрерывность и разрывы
Проверяем непрерывность в точке и различаем устранимый разрыв и скачок
-
Практика с пределами
Выбираем подходящий способ для подстановки, сокращения и проверки двух сторон
-
Определение производной
Собираем мгновенную скорость из предела средних скоростей
-
Производная по определению
Вычисляем производную через разностное отношение и понимаем роль каждого преобразования
-
Производная как функция
Переходим от наклона в одной точке к функции, которая описывает наклон повсюду
-
Степенное правило и линейность
Находим производные многочленов без повторного вычисления предела
-
Главный тригонометрический предел
Понимаем, почему предел sin(x)/x равен единице и где он нужен
-
Производные синуса и косинуса
Выводим и применяем производные основных тригонометрических функций
-
Правило произведения
Дифференцируем произведение функций и понимаем, почему нельзя перемножить производные
-
Правило частного
Находим производную отношения функций и контролируем порядок в числителе
-
Композиция функций
Видим внешнюю и внутреннюю функции перед применением правила цепочки
-
Правило цепочки
Дифференцируем композиции, умножая изменения внешнего и внутреннего слоёв
-
Производные высших порядков
Читаем вторую и последующие производные как изменение самого темпа
-
Смешанные правила производных
Выбираем порядок правил в выражениях с произведениями, частными и композициями
-
Закрепление основ производной
Соединяем предел, смысл производной и правила дифференцирования в новых задачах
02 1B. Неявные, обратные и показательные функции
-
Неявно заданные кривые
Различаем явную функцию и уравнение, которое связывает переменные
-
Неявное дифференцирование
Находим dy/dx прямо из уравнения, не решая его относительно y
-
Касательная к неявной кривой
Вычисляем наклон в заданной точке и находим уравнение касательной
-
Практика неявного дифференцирования
Соединяем цепочку, произведение и геометрию касательной в смешанных уравнениях
-
Обратная функция
Понимаем, когда функцию можно обратить и как связаны её графики и области
-
Производная обратной функции
Связываем наклоны взаимно обратных функций и вычисляем производную без явного обращения
-
Производные обратных тригонометрических функций
Выводим производные арксинуса и арктангенса через неявную связь
-
Показательная функция с основанием a
Видим, почему производная a^x пропорциональна самой функции
-
Число e и естественный рост
Определяем e через непрерывное начисление и связываем его с локальной скоростью роста
-
Производная экспоненты
Применяем производную e^x вместе с цепочкой, произведением и частным
-
Производная логарифма
Выводим производную натурального логарифма и учитываем его область определения
-
Логарифмическое дифференцирование
Упрощаем произведения, частные и переменные степени перед дифференцированием
-
Экспоненциальные модели
Переводим постоянный относительный темп в формулу роста или распада
-
Пределы, связанные с e
Распознаём формы (1+u)^(1/u) и переводим их в экспоненту
-
Гиперболические функции
Знакомимся с sinh и cosh как естественными комбинациями экспонент
-
Закрепление неявных и обратных функций
Соединяем неявную производную, обращение, логарифмы и экспоненциальные модели
03 2A. Приближения и исследование графиков
-
Линейное приближение
Заменяем функцию рядом с точкой её касательной и понимаем границы приближения
-
Касательная как локальная модель
Строим формулу касательной и используем её для оценки изменения функции
-
Ошибка линейного приближения
Определяем направление ошибки по выпуклости и оцениваем её порядок
-
Дифференциалы и оценка погрешности
Используем dy=f'(x)dx для передачи малой погрешности через функцию
-
Квадратичное приближение
Добавляем кривизну к касательной с помощью второй производной
-
Практика квадратичных оценок
Выбираем базовую точку и сравниваем линейную и квадратичную модели
-
Критические точки
Находим кандидатов на экстремум по нулю или отсутствию производной
-
Возрастание и убывание
Строим таблицу знаков производной и классифицируем локальные экстремумы
-
Выпуклость и точки перегиба
Читаем знак второй производной как изменение наклона графика
-
Асимптоты и поведение на бесконечности
Находим вертикальные, горизонтальные и наклонные ориентиры графика
-
Исследование графика
Собираем область, пределы и знаки производных в единый эскиз
-
Закрепление приближений и графиков
Соединяем локальные модели, погрешности и качественное исследование функций
04 2B. Оптимизация, связанные скорости и метод Ньютона
-
Как собрать задачу оптимизации
Переводим условие в цель, ограничение и допустимый интервал
-
Экстремумы на отрезке
Сравниваем критические точки, границы и разрывы
-
Расстояния и геометрические ограничения
Убираем корень и сводим чертёж к одной переменной
-
Оптимальная форма упаковки
Минимизируем материал при фиксированном объёме
-
Оптимизация с неявным ограничением
Разбираем кольцо на нити и закрепляем полный алгоритм
-
Связанные скорости изменения
Дифференцируем геометрическую связь по времени
-
Связанные скорости в прямоугольном треугольнике
Соединяем движение сторон теоремой Пифагора
-
Объёмы, сферы и подобные треугольники
Находим скорость уровня или радиуса по скорости объёма
-
Практика связанных скоростей
Выбираем связь, следим за знаком и проверяем единицы
-
Метод Ньютона
Находим корень по пересечениям касательных с осью
-
Когда метод Ньютона сходится — и когда нет
Выбираем старт и распознаём опасные касательные
-
Закрепление приложений производной
Соединяем оптимизацию, связанные скорости и численный поиск корней
05 2C. Теорема о среднем, первообразные и дифференциальные уравнения
-
Теорема о среднем
Связываем средний наклон на отрезке с мгновенным наклоном внутри него
-
Что производная говорит обо всём отрезке
Получаем постоянство, монотонность и оценки изменения из границ на производную
-
Дифференциалы как язык малых изменений
Читаем dx и dy и отделяем линейный прогноз от настоящего изменения
-
Первообразная — производная в обратную сторону
Восстанавливаем функцию по её производной и понимаем роль постоянной C
-
Базовые первообразные
Обращаем степенное, показательное и тригонометрические правила производных
-
Восстановление функции из скорости изменения
Находим конкретную функцию по производной и начальному условию
-
Подстановка как обратное цепное правило
Узнаём внутреннюю функцию вместе с её производной
-
Практика подстановки
Выбираем внутреннюю функцию, исправляем коэффициент и проверяем ответ производной
-
Дифференциальные уравнения
Читаем уравнение для производной и проверяем, является ли функция его решением
-
Поле направлений
Видим поведение решений дифференциального уравнения до вычисления формулы
-
Разделение переменных
Решаем уравнения вида y'=g(x)h(y) и используем начальное условие
-
Закрепление теоремы о среднем и обратных задач
Соединяем оценки по производной, первообразные, подстановку и дифференциальные уравнения
06 3A. Определённый интеграл и первая основная теорема
-
Определённый интеграл как накопленная величина
Читаем пределы интегрирования и отличаем число от семейства первообразных
-
От прямоугольников к точной площади
Строим приближение и понимаем, почему оно становится точнее при дроблении отрезка
-
Суммы без многоточий
Читаем знак Σ и записываем прямоугольные суммы компактно
-
Суммы Римана
Выбираем точки внутри разбиения и переходим от конечной суммы к интегралу
-
Интегралы, которые видны из геометрии
Вычисляем площади прямоугольников, треугольников и кусочно-линейных графиков
-
Интеграл как сумма изменений
Переходим от скорости процесса к накопленному количеству и проверяем единицы
-
Первая основная теорема анализа
Связываем предел сумм с первообразной и формулой F(b)−F(a)
-
Вычисление определённых интегралов
Находим первообразную, подставляем пределы и проверяем знак и масштаб ответа
-
Интеграл скорости и полное изменение
Отличаем перемещение от пройденного пути и читаем отрицательные вклады
-
Знаковые площади и свойства интеграла
Складываем интервалы, меняем пределы и используем линейность
-
Подстановка с пределами интегрирования
Меняем переменную и сразу переводим границы в новую шкалу
-
Оценки интеграла без точного вычисления
Ограничиваем накопление сверху и снизу сравнением функций
-
Среднее значение функции на отрезке
Связываем накопленное изменение с теоремой о среднем
-
Закрепление определённого интеграла
Соединяем суммы Римана, основную теорему, знаковые площади, подстановку и оценки
07 3B. Функции накопления, площади и объёмы
-
Функция с переменным верхним пределом
Читаем интеграл как функцию накопленного количества
-
Вторая основная теорема анализа
Находим мгновенную скорость функции накопления
-
Подвижные границы и правило цепочки
Дифференцируем интегралы с составными верхней и нижней границами
-
Почему основная теорема работает
Доказываем локальную формулу для производной накопления и выводим вычисление интеграла
-
Натуральный логарифм как площадь
Строим ln x интегралом и выводим его основные свойства
-
Новые функции из интегралов
Исследуем функцию, для которой нет элементарной первообразной
-
Практика функций накопления
Соединяем основную теорему, правило цепочки и исследование графика
-
Площадь между кривыми
Строим интеграл из высоты вертикального сечения и точек пересечения
-
Горизонтальные сечения площади
Выбираем интегрирование по y, когда оно избавляет от лишнего разбиения
-
Объём как сумма сечений
Переходим от площади одного слоя к интегралу объёма
-
Диски и шайбы
Находим объёмы вращения по радиусам поперечных сечений
-
Метод цилиндрических оболочек
Вычисляем объём по радиусу, высоте и длине окружности слоя
-
Шар, сфероид и проверка единиц
Применяем диски к классическим телам и проверяем масштаб ответа
-
Закрепление функций накопления, площадей и объёмов
Выбираем теорему, направление сечения и метод объёма по геометрии задачи
08 3C. Средние, вероятность и численное интегрирование
-
Непрерывное среднее
Переходим от среднего набора измерений к среднему значению функции
-
Взвешенное среднее
Учитываем неодинаковую важность разных участков непрерывного диапазона
-
Центр масс как взвешенное среднее
Находим точку равновесия плоской области по её тонким полосам
-
Плотность вероятности
Переводим локальную правдоподобность в вероятность интервала
-
Вероятность на плоскости и радиальный вес
Учитываем рост площади кольца в модели двумерной ошибки
-
Численное интегрирование и средние прямоугольники
Приближаем интеграл по таблице значений без поиска первообразной
-
Метод трапеций
Соединяем соседние значения прямыми и складываем площади трапеций
-
Правило Симпсона
Приближаем график параболами и применяем схему весов 1–4–2
-
Сравнение численных методов
Выбираем формулу по доступным узлам и проверяем направление ошибки
-
Площадь под колоколообразной кривой
Вычисляем интеграл Гаусса через объём радиально симметричной поверхности
-
Закрепление средних, вероятности и численных методов
Нормируем веса, читаем площади вероятности и выбираем численную формулу
09 4A. Тригонометрические интегралы и подстановки
-
Как читать тригонометрический интеграл
Выбираем метод по чётности степеней синуса и косинуса
-
Нечётные степени синуса и косинуса
Отделяем один множитель и сводим интеграл к многочлену
-
Чётные степени и половинный угол
Снижаем степени синуса и косинуса до интегрируемых слагаемых
-
Практика со степенями синуса и косинуса
Узнаём структуру до вычислений и проверяем ответ производной
-
Интегралы с тангенсом и секансом
Используем пары производных и тождество между тангенсом и секансом
-
Интегралы с котангенсом и косекансом
Переносим симметричную схему секанса и тангенса на вторую пару функций
-
Зачем нужна тригонометрическая подстановка
Превращаем корень из суммы или разности квадратов в одну тригонометрическую функцию
-
Корень вида $\sqrt{a^2-x^2}$
Используем подстановку $x=a\sin\theta$ и возвращаемся к переменной через треугольник
-
Корень вида $\sqrt{a^2+x^2}$
Используем подстановку $x=a\tan\theta$ и тождество для секанса
-
Корень вида $\sqrt{x^2-a^2}$
Используем подстановку $x=a\sec\theta$ и сравниваем её с простой заменой переменной
-
Гиперболическая подстановка
Упрощаем сумму квадратов через $1+\sinh^2u=\cosh^2u$
-
Выделение полного квадрата
Приводим общий квадратный трёхчлен к одной из стандартных форм
-
Сборка техник 4A
Выбираем кратчайший путь для тригонометрических выражений и квадратных корней
10 4B. Дроби, интегрирование по частям и геометрия кривых
-
Зачем раскладывать рациональную функцию
Превращаем правильную дробь с линейными множителями в сумму знакомых интегралов
-
Метод подстановки корней
Находим коэффициенты простых дробей без решения полной системы
-
Повторные и квадратичные множители
Правильно записываем все слагаемые расширенного разложения
-
Деление многочленов перед разложением
Превращаем неправильную рациональную дробь в многочлен и правильный остаток
-
Практика разложения рациональных функций
Проходим весь алгоритм от проверки степени до интегрирования простых слагаемых
-
Интегрирование по частям
Читаем правило произведения в обратную сторону и переносим производную между множителями
-
Как выбирать $u$ и $dv$
Выбираем множитель, который упрощается при дифференцировании, и интегрируемую вторую часть
-
Повторное интегрирование по частям
Снижаем степень полинома шаг за шагом и узнаём циклические интегралы
-
Экспоненциальный бокал двумя способами
Сравниваем диски и цилиндрические оболочки на одном объёме
-
Длина кривой как предел длин отрезков
Выводим элемент длины $ds$ из теоремы Пифагора
-
Вычисление длины кривой
Выбираем удобную переменную и распознаём интегрируемое выражение под корнем
-
Площадь поверхности вращения
Складываем площади узких лент с длиной окружности $2\pi r$
-
Площади сферы и тора
Применяем одну формулу к полуокружности и окружности со смещённым центром
-
Сборка техник 4B
Различаем алгебраические методы интегрирования и геометрические суммы по длине дуги
11 4C. Параметрические и полярные кривые
-
Кривая как движение точки
Читаем параметрические уравнения как путь, направление и диапазон движения
-
Наклон и скорость параметрической кривой
Собираем касательную и скорость из производных двух координат
-
Длина параметрической кривой
Интегрируем скорость по параметру и следим за числом обходов
-
Параметрическая модель движения
Восстанавливаем траекторию из компонент движения и читаем скорость вдоль пути
-
Поверхность вращения в параметрической форме
Подставляем параметрический элемент длины в формулу площади ленты
-
Полярные координаты
Задаём точку расстоянием от начала координат и направлением луча
-
Переход между полярными и декартовыми координатами
Переводим точки и уравнения через прямоугольный треугольник
-
Прямые и окружности в полярной форме
Узнаём простые кривые по формулам для $r$ и переводим их в декартову запись
-
Площадь в полярных координатах
Складываем узкие секторы вместо вертикальных прямоугольников
-
Границы полярной площади
Находим диапазон одного обхода и не считаем одну область несколько раз
-
Отрицательный радиус
Понимаем, почему точка оказывается на противоположном луче и как это влияет на график
-
Полярные розы
Строим многолепестковые кривые по нулям, знаку и периоду радиуса
-
Коники в полярных координатах
Узнаём эллипс, параболу и гиперболу по эксцентриситету
-
Сборка техник 4C
Связываем траекторию, скорость, полярное положение и площадь с корректным диапазоном параметра
12 5A. Правило Лопиталя и несобственные интегралы
-
Неопределённые формы
Отличаем неопределённость от уже известного результата и проверяем, когда нужен Лопиталь
-
Условия правила Лопиталя для формы ноль на ноль
Проверяем гипотезы теоремы до замены отношения функций
-
Вычисление пределов ноль на ноль
Применяем правило Лопиталя после явной проверки формы и условий
-
Повторное применение правила Лопиталя
Продолжаем дифференцировать, пока неопределённость действительно не исчезнет
-
Форма бесконечность на бесконечность
Сравниваем скорости неограниченного роста через производные
-
Произведения и разности с бесконечностью
Приводим формы ноль на бесконечность и бесконечность минус бесконечность к частному
-
Иерархия скоростей роста
Доказываем, что экспоненты обгоняют степени, а степени — логарифмы
-
Неопределённые степени
Снимаем показатель логарифмом и возвращаемся к исходной степени экспонентой
-
Где правило Лопиталя не помогает
Проверяем форму и существование нового предела, чтобы не получить ложное решение
-
Интеграл на бесконечном промежутке
Заменяем бесконечную границу пределом конечных площадей
-
Эталонные p-интегралы
Запоминаем порог сходимости степенных хвостов и степенных особенностей
-
Признаки сравнения для интегралов
Решаем вопрос о сходимости без вычисления первообразной
-
Особенности на конечном промежутке
Находим вертикальные разрывы и рассматриваем каждый односторонний предел отдельно
-
Сборка техник 5A
Выбираем правильное преобразование предела и проверяем все опасные точки интеграла
13 5B. Бесконечные ряды, формула Тейлора и финал курса
-
Бесконечный ряд и частичные суммы
Читаем знак суммы и определяем значение ряда через предел конечных сумм
-
Геометрический ряд
Находим сумму и точно определяем, при каких знаменателях она существует
-
Первые проверки сходимости ряда
Отбрасываем невозможную сходимость по членам и используем эталонные p-ряды
-
Интегральный признак для рядов
Сравниваем сумму положительной убывающей последовательности с площадью под графиком
-
Предельное сравнение рядов
Сопоставляем хвост положительного ряда со степенным эталоном
-
Признак отношений
Распознаём экспоненциальное убывание членов ряда по соседнему отношению
-
Гармонический ряд в башне из блоков
Переводим медленную расходимость ряда в реальную задачу о центре масс
-
Степенной ряд и радиус сходимости
Видим в бесконечной сумме функцию и находим область допустимых значений аргумента
-
Формула Тейлора
Восстанавливаем коэффициенты степенного ряда по производным функции в одной точке
-
Ряд Тейлора экспоненты
Получаем ряд для экспоненты и используем его частичные суммы как вычислимые приближения
-
Ряды синуса и косинуса
Читаем чётность и чередование знаков из циклических производных
-
Остаток ряда Тейлора
Отличаем формальный ряд от функции и оцениваем ошибку конечного приближения
-
Алгебра и подстановка степенных рядов
Получаем новые разложения умножением и заменой аргумента внутри области сходимости
-
Производные и интегралы степенных рядов
Дифференцируем и интегрируем ряд почленно, сохраняя радиус сходимости
-
Ряды для функций без элементарной первообразной
Строим разложения арктангенса и функции ошибок из знакомого геометрического ряда
-
Сборка техник 5B
Связываем частичные суммы, признаки сходимости, радиус и коэффициенты Тейлора
-
Финал курса: гиперболический синус
Собираем графики, обратные функции, производные и интегралы в одной задаче