Что такое производная: скорость изменения функции

Производная показывает, как быстро меняется функция в выбранной точке. Положительная производная означает рост, отрицательная означает убывание, а её модуль описывает интенсивность изменения.

Геометрически $f'(a)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $x=a$ . В прикладной задаче она может обозначать мгновенную скорость, расход или чувствительность результата к малому изменению входа.

От двух точек к одной

Средняя скорость изменения на промежутке от $a$ до $a+h$ равна

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Уменьшая $h$ , мы сближаем две точки и получаем наклон всё более короткой секущей. Если эти наклоны приближаются к одному числу, оно и есть производная.

flowchart LR
  accTitle: Переход от средней скорости к производной
  accDescr: Две точки задают секущую, уменьшение промежутка приближает её к касательной и производной.
  A["Две точки графика"] --> B["Наклон секущей"]
  B --> C["Промежуток h уменьшается"]
  C --> D["Наклон касательной f'(a)"]

Пример: производная квадрата в точке

Найдём производную $f(x)=x^2$ при $x=3$ прямо из определения. Подставим $a=3$ :

\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\frac{(3+h)^2-9}{h}.

Раскроем квадрат и сократим:

\frac{9+6h+h^2-9}{h} =\frac{6h+h^2}{h} =6+h, \qquad h\ne0.

Когда $h$ приближается к нулю, выражение $6+h$ приближается к $6$ . Поэтому $f'(3)=6$ . Это число говорит, что рядом с $x=3$ малое увеличение $x$ на $0{,}01$ увеличивает $x^2$ примерно на $0{,}06$ .

Типичная ошибка: значение функции и производная

Для $f(x)=x^2$ при $x=3$ значение функции равно $9$ , а производная равна $6$ . Девятка отвечает на вопрос «какова высота графика?», шестёрка отвечает на вопрос «как быстро высота меняется здесь?».

В курсе «Математический анализ I» этот переход начинается со средней скорости и предела, а затем приводит к правилам дифференцирования, исследованию графиков и оптимизации.

Что означает знак производной

Если $f'(x)>0$ , функция возрастает; если $f'(x)<0$ , убывает. Нулевая производная означает горизонтальную касательную, но не обязательно экстремум: для $f(x)=x^3$ имеем $f'(0)=0$ , хотя функция возрастает с обеих сторон. Максимум возникает при смене знака с плюса на минус, минимум — с минуса на плюс.

flowchart LR
  accTitle: Смена знака производной и экстремум
  accDescr: Плюс перед критической точкой и минус после неё дают максимум; обратная смена даёт минимум.
  A["f′: +"] --> B["f′: − — максимум"]
  C["f′: −"] --> D["f′: + — минимум"]

Единицы измерения

Если путь измеряется в километрах, а время — в часах, производная пути имеет единицы км/ч. Если $C(q)$ — стоимость в рублях для $q$ изделий, то $C'(q)$ измеряется в рублях на изделие и оценивает стоимость следующей единицы. Единицы помогают отличить скорость изменения от значения самой функции.

Линейное приближение

Вблизи точки $a$ гладкая функция похожа на касательную:

f(a+\Delta x)\approx f(a)+f'(a)\Delta x.

Для $f(x)=\sqrt{x}$ имеем $f(4)=2$ и $f'(4)=1/4$ , поэтому $\sqrt{4{,}04}\approx2+(1/4)\cdot0{,}04=2{,}01$ . Точное значение около $2{,}00998$ .

Где производная не существует

Даже непрерывная функция может не иметь производной: у $|x|$ в нуле левый наклон равен $-1$ , а правый $1$ . Другие причины — разрыв, вертикальная касательная или слишком нерегулярное колебание. Поэтому правила дифференцирования применяют только там, где нужная производная существует.

Обозначения

$f'(x)$ — производная как новая функция, $f'(3)$ — её значение в точке. Запись $dy/dx$ подчёркивает отношение малых изменений выхода и входа. Эти обозначения выражают одну идею и выбираются по удобству.