Что такое производная: скорость изменения функции

Производная показывает, как быстро меняется функция в выбранной точке. Положительная производная означает рост, отрицательная означает убывание, а её модуль описывает интенсивность изменения.

Геометрически $f'(a)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $x=a$ . В прикладной задаче она может обозначать мгновенную скорость, расход или чувствительность результата к малому изменению входа.

От двух точек к одной

Средняя скорость изменения на промежутке от $a$ до $a+h$ равна

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Уменьшая $h$ , мы сближаем две точки и получаем наклон всё более короткой секущей. Если эти наклоны приближаются к одному числу, оно и есть производная.

flowchart LR
  accTitle: Переход от средней скорости к производной
  accDescr: Две точки задают секущую, уменьшение промежутка приближает её к касательной и производной.
  A["Две точки графика"] --> B["Наклон секущей"]
  B --> C["Промежуток h уменьшается"]
  C --> D["Наклон касательной f'(a)"]

Пример: производная квадрата в точке

Найдём производную $f(x)=x^2$ при $x=3$ прямо из определения. Подставим $a=3$ :

\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\frac{(3+h)^2-9}{h}.

Раскроем квадрат и сократим:

\frac{9+6h+h^2-9}{h} =\frac{6h+h^2}{h} =6+h, \qquad h\ne0.

Когда $h$ приближается к нулю, выражение $6+h$ приближается к $6$ . Поэтому $f'(3)=6$ . Это число говорит, что рядом с $x=3$ малое увеличение $x$ на $0{,}01$ увеличивает $x^2$ примерно на $0{,}06$ .

Типичная ошибка: значение функции и производная

Для $f(x)=x^2$ при $x=3$ значение функции равно $9$ , а производная равна $6$ . Девятка отвечает на вопрос «какова высота графика?», шестёрка отвечает на вопрос «как быстро высота меняется здесь?».

В курсе «Математический анализ I» этот переход начинается со средней скорости и предела, а затем приводит к правилам дифференцирования, исследованию графиков и оптимизации.

От двух точек к одной

Пример: производная квадрата в точке

Типичная ошибка: значение функции и производная

Читайте дальше