Правила производной: таблица и примеры вычисления

Чтобы найти производную функции, сначала распознайте её структуру: сумма, произведение, частное или композиция функций. Затем примените соответствующее правило и упростите результат. Запоминать длинные готовые производные сложных выражений не нужно.

Короткая таблица производных

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$
$C$	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

Формулы применяются там, где функции определены и дифференцируемы. Например, для $\ln x$ требуется $x>0$ .

Сумма и постоянный множитель

Производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно вынести:

(f+g)'=f'+g',\qquad (Cf)'=Cf'.

Для $y=3x^4-5x+7$ дифференцируем каждое слагаемое:

y'=3\cdot4x^3-5\cdot1+0=12x^3-5.

Постоянная $7$ влияет на высоту графика, но не на его наклон, поэтому её производная равна нулю.

Правило произведения

Производная произведения — не произведение производных:

(fg)'=f'g+fg'.

Найдём производную $y=x^2\sin x$ . Здесь $f=x^2$ , $g=\sin x$ :

y'=2x\sin x+x^2\cos x.

Два слагаемых учитывают, что при изменении $x$ меняются оба множителя.

Правило частного

\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0.

Для $y=(x+1)/x$ получаем

y'=\frac{1\cdot x-(x+1)\cdot1}{x^2}=-\frac1{x^2}.

Проверка через предварительное упрощение даёт то же: $y=1+1/x$ , поэтому $y'=-1/x^2$ .

Правило сложной функции

Если $y=f(g(x))$ , то

y'=f'(g(x))\cdot g'(x).

Иначе говоря: найдите производную внешней функции, сохранив внутреннее выражение, затем умножьте на производную внутренней.

flowchart LR
  accTitle: Правило цепочки для сложной функции
  accDescr: Сначала дифференцируют внешнюю функцию, не меняя внутреннюю, затем умножают на производную внутренней.
  A["y = (3x + 1)⁵"] --> B["Внешняя: u⁵ → 5u⁴"]
  B --> C["Внутренняя: 3x + 1 → 3"]
  C --> D["y′ = 15(3x + 1)⁴"]

Например,

\frac{d}{dx}\sin(x^2)=\cos(x^2)\cdot2x.

Множитель $2x$ — самая частая потеря в таких вычислениях.

Несколько правил в одном примере

Пусть

y=(x^2+1)e^{3x}.

Внешняя структура — произведение. Первый множитель имеет производную $2x$ . Для второго применяем цепочку: $(e^{3x})'=3e^{3x}$ . Поэтому

y'=2xe^{3x}+3(x^2+1)e^{3x} =e^{3x}(3x^2+2x+3).

Сначала записанная структура снижает риск смешать правила.

Как выбрать правило

flowchart TD
  accTitle: Выбор правила дифференцирования
  accDescr: Главная операция выражения определяет первое правило, а вложенные части разбираются затем.
  A["Главная операция"] --> B["+ или −: по слагаемым"]
  A --> C["·: правило произведения"]
  A --> D["/: правило частного"]
  A --> E["функция внутри функции: цепочка"]

Смотрите на последнюю операцию, выполняемую при вычислении значения. В $(x^2+1)^5$ последней является возведение всей скобки в степень, значит сначала нужна цепочка, а не производная суммы.

Проверка производной

Проверьте область определения, знак и порядок величины. Можно сравнить с разностным отношением $[f(x+h)-f(x)]/h$ при малом $h$ . Это не доказательство, но численное расхождение часто обнаруживает потерянный множитель или знак.

Частые ошибки

$(fg)'\ne f'g'$ ;
забыта производная внутренней функции;
у $\cos x$ потерян минус;
степень уменьшена на один, но старый показатель не вынесен множителем;
формула применена вне области определения.