Свойства логарифмов: откуда берутся правила

Свойства логарифмов переводят умножение в сложение, деление в вычитание, а степень в множитель. Эти правила следуют из свойств степеней, поэтому их можно восстановить, даже если формула забылась.

При $a>0$ , $a\ne1$ , $x>0$ и $y>0$ действуют три основных равенства:

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,

\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \qquad \log_a(x^r)=r\log_a x.

Почему произведение превращается в сумму

Пусть $\log_a x=p$ и $\log_a y=q$ . По определению логарифма это означает $x=a^p$ и $y=a^q$ . Перемножим числа:

xy=a^p\cdot a^q=a^{p+q}.

Показатель степени у произведения равен $p+q$ . Значит, $\log_a(xy)=p+q=\log_a x+\log_a y$ .

flowchart LR
  accTitle: Происхождение свойства логарифма произведения
  accDescr: Произведение степеней складывает показатели, поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов.
  A["x = aᵖ, y = aᑫ"] --> B["xy = aᵖ · aᑫ"]
  B --> C["xy = aᵖ⁺ᑫ"]
  C --> D["logₐ(xy) = p + q"]

Полностью разобранный пример

Упростим выражение

\log_2 40-\log_2 5.

Разность логарифмов собирается в логарифм частного:

\log_2 40-\log_2 5=\log_2\frac{40}{5}=\log_2 8=3.

Последний переход следует из $2^3=8$ . Мы использовали правило в направлении, которое сделало аргумент удобным для вычисления.

Другой пример раскрывает степень:

\log_3(9x^2)=\log_3 9+\log_3(x^2)=2+2\log_3 x,

где обязательно $x>0$ , если выражение записано именно как $\log_3 x$ .

Правила для суммы нет

Равенство $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$ неверно. Возьмём $x=y=1$ :

\log_a(1+1)=\log_a2, \qquad \log_a1+\log_a1=0.

Левая и правая части различаются. Причина в том, что свойства степеней связывают сложение показателей с умножением степеней. Сложение самих степеней такого правила не создаёт.

Область допустимых значений

Каждый аргумент логарифма должен быть положительным. В записи $\log_2(x-1)+\log_2(x+3)$ одновременно нужны условия $x>1$ и $x>-3$ . Вместе они дают $x>1$ .

Проверять область допустимых значений нужно до преобразований: собранная формула может скрыть ограничения исходного выражения.

Формула перехода к новому основанию

Если нужного основания нет на калькуляторе, используйте

\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.

Здесь $b$ — любое допустимое основание. Обычно берут $10$ или $e$ , потому что кнопки $\lg$ и $\ln$ есть почти на любом инженерном калькуляторе. Например,

\log_2 7=\frac{\ln 7}{\ln 2}\approx2{,}807.

Формула следует из определения. Если $a^p=x$ , то после логарифмирования по основанию $b$ получаем $p\log_ba=\log_bx$ , откуда и выражаем $p$ .

Частный полезный случай:

\log_a b=\frac1{\log_b a}.

Как раскрывать логарифм без потери условий

Рассмотрим $\log_2\!\left(\dfrac{8x^3}{y}\right)$ . Сначала фиксируем условия исходной записи: $8x^3/y>0$ и $y\ne0$ . Если дополнительно известно, что $x>0$ и $y>0$ , можно написать

\log_2\!\left(\frac{8x^3}{y}\right) =\log_2 8+\log_2(x^3)-\log_2y =3+3\log_2x-\log_2y.

Без условий $x>0$ переход к $3\log_2x$ незаконен: логарифм $x$ может не существовать, хотя исходное отношение положительно. Для вещественного $x\ne0$ корректная универсальная запись $\log_a(x^2)=2\log_a|x|$ , а не $2\log_ax$ .

Как сворачивать сумму логарифмов

Обратное направление правил часто помогает решать уравнения:

2\log_3x-\log_3(x-1) =\log_3(x^2)-\log_3(x-1) =\log_3\frac{x^2}{x-1}.

Но до сворачивания нужно записать $x>0$ и $x-1>0$ , то есть $x>1$ . Новое единое выражение не отменяет ограничения каждого исходного логарифма.

Памятка: какое правило выбрать

flowchart TD
  accTitle: Выбор свойства логарифма по операции внутри аргумента
  accDescr: Произведение раскрывается в сумму, частное в разность, степень выносится множителем, а для суммы отдельного правила нет.
  A["Что внутри логарифма?"] --> B["Произведение xy"]
  A --> C["Частное x/y"]
  A --> D["Степень xʳ"]
  A --> E["Сумма x+y"]
  B --> F["log x + log y"]
  C --> G["log x − log y"]
  D --> H["r · log x"]
  E --> I["Не раскрывать"]

После любого преобразования полезно проверить три вещи: основания одинаковы, все аргументы положительны, а правило соответствует операции внутри логарифма.