Свойства логарифмов: откуда берутся правила

Свойства логарифмов переводят умножение в сложение, деление в вычитание, а степень в множитель. Эти правила следуют из свойств степеней, поэтому их можно восстановить, даже если формула забылась.

При $a>0$ , $a\ne1$ , $x>0$ и $y>0$ действуют три основных равенства:

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,

\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \qquad \log_a(x^r)=r\log_a x.

Почему произведение превращается в сумму

Пусть $\log_a x=p$ и $\log_a y=q$ . По определению логарифма это означает $x=a^p$ и $y=a^q$ . Перемножим числа:

xy=a^p\cdot a^q=a^{p+q}.

Показатель степени у произведения равен $p+q$ . Значит, $\log_a(xy)=p+q=\log_a x+\log_a y$ .

flowchart LR
  accTitle: Происхождение свойства логарифма произведения
  accDescr: Произведение степеней складывает показатели, поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов.
  A["x = aᵖ, y = aᑫ"] --> B["xy = aᵖ · aᑫ"]
  B --> C["xy = aᵖ⁺ᑫ"]
  C --> D["logₐ(xy) = p + q"]

Полностью разобранный пример

Упростим выражение

\log_2 40-\log_2 5.

Разность логарифмов собирается в логарифм частного:

\log_2 40-\log_2 5=\log_2\frac{40}{5}=\log_2 8=3.

Последний переход следует из $2^3=8$ . Мы использовали правило в направлении, которое сделало аргумент удобным для вычисления.

Другой пример раскрывает степень:

\log_3(9x^2)=\log_3 9+\log_3(x^2)=2+2\log_3 x,

где обязательно $x>0$ , если выражение записано именно как $\log_3 x$ .

Правила для суммы нет

Равенство $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$ неверно. Возьмём $x=y=1$ :

\log_a(1+1)=\log_a2, \qquad \log_a1+\log_a1=0.

Левая и правая части различаются. Причина в том, что свойства степеней связывают сложение показателей с умножением степеней. Сложение самих степеней такого правила не создаёт.

Область допустимых значений

Каждый аргумент логарифма должен быть положительным. В записи $\log_2(x-1)+\log_2(x+3)$ одновременно нужны условия $x>1$ и $x>-3$ . Вместе они дают $x>1$ .

Проверять область допустимых значений нужно до преобразований: собранная формула может скрыть ограничения исходного выражения.

Почему произведение превращается в сумму

Полностью разобранный пример

Правила для суммы нет

Область допустимых значений

Читайте дальше