Как складывать дроби и находить общий знаменатель

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала представьте их в одинаковых долях. Для этого найдите общий знаменатель, домножьте числитель и знаменатель каждой дроби на нужное число, затем сложите числители.

Например,

\frac13+\frac14=\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}.

Зачем нужен общий знаменатель

Знаменатель показывает размер одной доли. Треть и четверть имеют разные размеры, поэтому складывать числа в числителях сразу нельзя. После разбиения обеих величин на двенадцатые доли единица измерения становится общей.

flowchart LR
  accTitle: Сложение одной трети и одной четверти
  accDescr: Одну треть превращают в четыре двенадцатых, одну четверть в три двенадцатых и получают семь двенадцатых.
  A["1/3"] --> B["4/12"]
  C["1/4"] --> D["3/12"]
  B --> E["4/12 + 3/12"]
  D --> E
  E --> F["7/12"]

Домножение на $4/4$ или $3/3$ не меняет величину дроби: обе такие дроби равны единице.

Пример с наименьшим общим знаменателем

Сложим

\frac5{12}+\frac7{18}.

Разложения знаменателей имеют вид $12=2^2\cdot3$ и $18=2\cdot3^2$ . Наименьшее число, которое делится на оба знаменателя, равно $2^2\cdot3^2=36$ .

Первую дробь домножаем на $3/3$ , вторую на $2/2$ :

\frac5{12}=\frac{15}{36}, \qquad \frac7{18}=\frac{14}{36}.

Теперь складываем одинаковые доли:

\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}.

Числа $29$ и $36$ не имеют общего делителя больше единицы, поэтому дробь уже несократима.

Общий знаменатель не обязан быть наименьшим

Для $1/3$ и $1/4$ подойдёт и знаменатель $24$ : $1/3=8/24$ , $1/4=6/24$ , сумма равна $14/24=7/12$ . Результат тот же, но появляется дополнительное сокращение. Наименьший общий знаменатель делает вычисления короче.

Типичная ошибка

Запись

\frac13+\frac14=\frac27

неверна. Сложение знаменателей меняет размер доли и не сохраняет исходные величины. Быстрая проверка: $1/3$ больше $1/4$ , значит их сумма должна быть больше $1/3$ , а $2/7$ меньше $1/3$ .

Для алгебраических дробей принцип тот же. В выражении $1/x+1/(2x)$ общим знаменателем будет $2x$ , при этом нужно сохранить условие $x\ne0$ .

Зачем нужен общий знаменатель

Пример с наименьшим общим знаменателем

Общий знаменатель не обязан быть наименьшим

Типичная ошибка

Читайте дальше