Как складывать дроби и находить общий знаменатель

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала представьте их в одинаковых долях. Для этого найдите общий знаменатель, домножьте числитель и знаменатель каждой дроби на нужное число, затем сложите числители.

Например,

\frac13+\frac14=\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}.

Зачем нужен общий знаменатель

Знаменатель показывает размер одной доли. Треть и четверть имеют разные размеры, поэтому складывать числа в числителях сразу нельзя. После разбиения обеих величин на двенадцатые доли единица измерения становится общей.

flowchart LR
  accTitle: Сложение одной трети и одной четверти
  accDescr: Одну треть превращают в четыре двенадцатых, одну четверть в три двенадцатых и получают семь двенадцатых.
  A["1/3"] --> B["4/12"]
  C["1/4"] --> D["3/12"]
  B --> E["4/12 + 3/12"]
  D --> E
  E --> F["7/12"]

Домножение на $4/4$ или $3/3$ не меняет величину дроби: обе такие дроби равны единице.

Пример с наименьшим общим знаменателем

Сложим

\frac5{12}+\frac7{18}.

Разложения знаменателей имеют вид $12=2^2\cdot3$ и $18=2\cdot3^2$ . Наименьшее число, которое делится на оба знаменателя, равно $2^2\cdot3^2=36$ .

Первую дробь домножаем на $3/3$ , вторую на $2/2$ :

\frac5{12}=\frac{15}{36}, \qquad \frac7{18}=\frac{14}{36}.

Теперь складываем одинаковые доли:

\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}.

Числа $29$ и $36$ не имеют общего делителя больше единицы, поэтому дробь уже несократима.

Общий знаменатель не обязан быть наименьшим

Для $1/3$ и $1/4$ подойдёт и знаменатель $24$ : $1/3=8/24$ , $1/4=6/24$ , сумма равна $14/24=7/12$ . Результат тот же, но появляется дополнительное сокращение. Наименьший общий знаменатель делает вычисления короче.

Типичная ошибка

Запись

\frac13+\frac14=\frac27

неверна. Сложение знаменателей меняет размер доли и не сохраняет исходные величины. Быстрая проверка: $1/3$ больше $1/4$ , значит их сумма должна быть больше $1/3$ , а $2/7$ меньше $1/3$ .

Для алгебраических дробей принцип тот же. В выражении $1/x+1/(2x)$ общим знаменателем будет $2x$ , при этом нужно сохранить условие $x\ne0$ .

Алгоритм сложения дробей с разными знаменателями

Когда числа становятся сложнее, держите перед глазами пять шагов:

Сократите исходные дроби, если это возможно.
Найдите наименьшее общее кратное знаменателей.
Разделите общий знаменатель на знаменатель каждой дроби — так вы получите дополнительные множители.
Умножьте на свой дополнительный множитель и числитель, и знаменатель каждой дроби.
Сложите числители, оставьте общий знаменатель и сократите результат.

Например, сложим $7/20+11/30$ . Наименьшее общее кратное чисел $20$ и $30$ равно $60$ . Дополнительные множители равны $60:20=3$ и $60:30=2$ :

\frac7{20}+\frac{11}{30} =\frac{7\cdot3}{20\cdot3}+\frac{11\cdot2}{30\cdot2} =\frac{21}{60}+\frac{22}{60} =\frac{43}{60}.

Здесь особенно полезно подписывать дополнительные множители: большинство вычислительных ошибок возникает не при сложении, а когда множитель применяют только к числителю или выбирают его наугад.

Как найти НОК знаменателей

Для небольших чисел можно выписать кратные. У $6$ это $6,12,18,24,\ldots$ , у $8$ — $8,16,24,\ldots$ ; первое совпадение равно $24$ .

Для больших знаменателей надёжнее разложение на простые множители. В НОК входит каждый встречающийся простой множитель в наибольшей степени. Например,

24=2^3\cdot3,\qquad 90=2\cdot3^2\cdot5,

поэтому $\operatorname{lcm}(24,90)=2^3\cdot3^2\cdot5=360$ .

Есть и короткая связь с наибольшим общим делителем: $\operatorname{lcm}(a,b)=|ab|/\operatorname{gcd}(a,b)$ . Здесь $\operatorname{lcm}$ обозначает НОК, а $\operatorname{gcd}$ — НОД. Формула удобна, если НОД уже легко виден.

Смешанные числа и отрицательные дроби

Смешанные числа сначала переведите в неправильные дроби. Например,

1\frac12+2\frac23=\frac32+\frac83=\frac9{6}+\frac{16}{6}=\frac{25}{6}=4\frac16.

Со знаком минус работайте как с обычным знаком числа:

\frac34-\frac56=\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}.

Как быстро проверить ответ

Оцените дроби десятичными числами или сравните результат с границами. В примере $7/20+11/30$ каждое слагаемое меньше $1/2$ , поэтому сумма должна быть меньше $1$ ; ответ $43/60$ этому соответствует. Такая оценка сразу обнаружит потерянный знаменатель или неверный знак.