Как решать логарифмические уравнения: методы и примеры

Логарифмическое уравнение содержит неизвестную в аргументе или основании логарифма. Надёжный порядок решения: записать область допустимых значений, привести уравнение к знакомой форме, решить получившееся алгебраическое уравнение и проверить корни по исходным ограничениям.

Главный перевод следует из определения:

\log_a f(x)=b \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=a^b,

где $a>0$ , $a\ne1$ и $f(x)>0$ .

Алгоритм решения

flowchart TD
  accTitle: Алгоритм решения логарифмического уравнения
  accDescr: Сначала записывают ограничения, затем упрощают логарифмы, решают обычное уравнение и проверяют найденные корни.
  A["Записать ОДЗ"] --> B["Выбрать свойство или перейти к степени"]
  B --> C["Решить алгебраическое уравнение"]
  C --> D["Отсеять корни вне ОДЗ"]
  D --> E["Проверить в исходной записи"]

ОДЗ — не формальность: логарифм определён только при положительном аргументе. Преобразования могут дать корень, при котором исходная запись не существует.

Метод 1. Перейти к степени

Решим

\log_3(2x-1)=2.

Сначала $2x-1>0$ , то есть $x>1/2$ . По определению логарифма:

2x-1=3^2=9, \qquad 2x=10, \qquad x=5.

Число $5$ входит в ОДЗ. Проверка: $\log_3(2\cdot5-1)=\log_3 9=2$ .

Метод 2. Приравнять аргументы

Если основания одинаковы, логарифмическая функция принимает одно значение только при одном аргументе:

\log_a f(x)=\log_a g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=g(x),

при условиях $f(x)>0$ и $g(x)>0$ . Например,

\log_2(x+3)=\log_2(3x-1).

ОДЗ требует $x>-3$ и $x>1/3$ , вместе $x>1/3$ . Приравниваем аргументы: $x+3=3x-1$ , откуда $x=2$ . Корень допустим.

Важно: это работает при одинаковых основаниях. Из $\log_2f(x)=\log_3g(x)$ равенство аргументов не следует.

Метод 3. Собрать логарифмы

Решим

\log_2x+\log_2(x-2)=3.

ОДЗ: $x>0$ и $x-2>0$ , значит $x>2$ . По свойству произведения:

\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3.

Переходим к степени и решаем:

x(x-2)=8, \qquad x^2-2x-8=0, \qquad (x-4)(x+2)=0.

Алгебраические корни равны $4$ и $-2$ , но ОДЗ оставляет только $x=4$ . Проверка даёт $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$ .

Метод 4. Замена переменной

Если несколько раз встречается один логарифм, обозначьте его новой переменной:

(\log_2x)^2-3\log_2x+2=0.

Пусть $t=\log_2x$ . Тогда $(t-1)(t-2)=0$ , поэтому $t=1$ или $t=2$ . Возвращаемся к $x$ : $x=2^1=2$ или $x=2^2=4$ . Оба числа положительны и подходят.

Когда основания разные

Иногда помогает переход к одному основанию. Например,

\log_2x+\log_4x=6.

Так как $\log_4x=\log_2x/\log_24=\frac12\log_2x$ , получаем $\frac32\log_2x=6$ . Значит, $\log_2x=4$ и $x=16$ .

Частые ошибки

Не записать ОДЗ и оставить посторонний корень.
Применить несуществующее правило $\log(x+y)=\log x+\log y$ .
Приравнять аргументы логарифмов с разными основаниями.
Разделить на выражение с неизвестной и потерять случай, когда оно равно нулю.
Проверить корень только в преобразованном, а не исходном уравнении.

Как выбрать метод

Если справа число — переходите к степени. Если по одному логарифму с каждой стороны и основания одинаковы — приравнивайте аргументы. Сумму или разность логарифмов одного основания попробуйте собрать. Повторяющийся $\log_ax$ замените переменной. Этот порядок закрывает большинство базовых уравнений без перебора формул.